CalculusMate 如何驗證微積分答案
了解 CalculusMate 如何計算、檢查及標示微分、積分、極限與代數結果，以及目前的支援限制。
最近更新: 2026-09-21
CalculusMate 將「運算」與「驗證」分開。解題工具先套用支援的確定性規則，再執行該題型可用的檢查。答案旁的狀態會說明這個流程進行到哪個階段。
各種狀態代表什麼
- 已驗證：畫面顯示的結果已通過可用的確定性檢查。
- 已計算：支援的規則已產生結果，但獨立證據不足，無法標示為「已驗證」。
- 驗證失敗：檢查結果與答案不一致，或無法安全完成請求。請將該輸出視為尚未解決。
- 不支援：算式、記號、定義域或方法超出目前規則範圍。CalculusMate 不會改以 AI 猜測取代答案。
這些標籤只描述本次運算，並不表示所有可能的中間步驟、慣例或數學定義域都已獲得證明。
如何檢查微分結果
支援的一階導數會使用確定性運算式樹重新計算。高階導數也可能透過截斷泰勒級數的自動微分，在數個安全取樣點進行檢查。如果安全取樣點不足，結果可能維持「已計算」，而不是「已驗證」。
偏微分使用所選的作用變數；其他獨立符號視為常數。隱函數微分使用解析後的關係式與恆等式 dy/dx = -F_x/F_y；分母為零或遇到奇異點時，可能需要另外分析。
如何檢查積分結果
對於支援的反導函數，CalculusMate 會對候選結果微分，並在多個安全取樣點與被積函數比對。定積分會先檢查反導函數，再代入有限的上下限。
沒有支援的符號反導函數時，有限且連續的區間可能使用確定性的辛普森法進行數值計算，並標示為近似值。支援的收斂瑕積分模式會分開處理。其他無限上下限、偵測到的奇異點與主值問題會標示為不支援，不會當成一般正常積分處理。
如何檢查極限結果
連續的算式可透過精確代入驗證。支援的不定型商式可使用精確化簡，或在限定次數內套用羅必達法則。精確代入無定義時，解題工具可能比較由指定方向接近的穩定數值序列。
左側與右側行為不一致時，不會接受為雙側極限。取樣只能在引擎支援的情況下佐證結果，不是適用於所有函數的一般證明。
其他確定性檢查
部分分式結果會重新合併，並與原本的有理式比對。多項式在無窮遠處的行為，會根據精確的次數與首項係數檢查。即使代數約分讓算式看起來更簡單，原始算式的定義域限制仍保留在結果中。
CalculusMate 不承諾的事項
- 不支援所有記號、特殊函數、收斂檢驗或符號運算技巧。
- 不會將流暢的 AI 文字視為數學驗證。
- 不會取代老師或課程要求的假設與解題格式。
- 必要檢查無法進行或失敗時，不會將結果標示為「已驗證」。
處理重要題目時，請閱讀列出的定義域與限制，對照課程方法檢查步驟，並進一步釐清不支援或失敗的狀態。
回報疑似數學錯誤
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常見問題
「已驗證」表示每一行都有形式化證明嗎？
不是。它表示顯示的結果已通過該支援題型可用的確定性檢查。說明會指出變形過程，但標籤不是通用的證明憑證。
AI 可以更改數學答案嗎？
不可以。選用的 AI 輔助會解釋目前題目與已驗證的步驟，不會取代確定性解題工具的結果。
為什麼有時只標示「已計算」？
規則引擎可能完成支援的運算，但獨立檢查器找不到足夠的安全證據。較低信心程度的標籤讓這個差異清楚可見。
這次本機啟動測試實際驗證了什麼？
這是本機開發證據，不是正式環境或第三方評測。共執行三十個自行編寫的案例：23 個產生答案，且全部通過已記錄的參考答案檢查；六個回報不支援，一個拒絕無效輸入。這組啟動測試不能證明任意題目的準確率。三條關鍵規則路徑已獨立檢查；其他步驟檢查仍未能確定。有限的數值取樣不是形式化證明。引擎的一階導數檢查共用其規則樹。
執行識別碼：2026-10-10T17-53-17-034Z；引擎 SHA-256：7c39cebee278537ac097839e63511754e50fbf3db4b5da5959b7853adf570e65；HEAD：3861320efdfb5937c64ea40669f5095cdefb3527（含尚未提交的本機修改）。
| 任務或限制 | 本機觀察到的行為 |
|---|---|
| 支援的微分、積分與極限 | 範圍限於已記錄的案例清單，不代表所有符號運算方法。 |
| 訪客使用 | 隔離的 HTTP 測試接受了 20 次成功的訪客運算； 無效與不支援的嘗試不會扣除此額度。首次成功運算不需要 帳號。這不代表無限免費使用，也不是正式環境的帳務測試。 |
| 未涵蓋的案例 | 2x*cos(x^2)、exp(-x^2)，以及 sqrt(x^2+1)-x 在無窮遠處的極限， 都未回傳支援的答案。 |
| 奇異區間與方向 | 跨越零的 1/x 與 1/x^2 積分遭到拒絕；不一致的單側極限 不會被接受為雙側極限。 |
有限且連續的區間可能使用有明確標示的近似值；支援的收斂瑕積分模式另行處理。其他無限上下限、偵測到的奇異點與主值問題仍不支援。「不支援」表示規則範圍有限，不是證明數學上不存在反導函數。
代表案例：條件、實際結果與重跑連結
D02
sin((x^2+1)^3) → 6 · cos((x ^ 2 + 1) ^ 3) · (x ^ 2 + 1) ^ 2 · x
實數變數。產品（原始英文輸出）：verified；參考答案檢查：pass；步驟檢查：pass；定義域檢查：pass。
- 冪次法則：
d/dx(x ^ 2) = (2) · (x) ^ (1) · (1) - 和的微分法則：
d/dx(x ^ 2 + 1) = 2 · x - 冪次法則：
d/dx((x ^ 2 + 1) ^ 3) = (3) · (x ^ 2 + 1) ^ (2) · (2 · x) - 連鎖律：
d/dx sin((x ^ 2 + 1) ^ 3) = (cos((x ^ 2 + 1) ^ 3)) · (6 · (x ^ 2 + 1) ^ 2 · x)
I04
x*exp(x) → exp(x) · (x - 1) + C
實數變數。產品（原始英文輸出）：Verified by differentiating the antiderivative at multiple points.；參考答案檢查：pass；步驟檢查：pass；定義域檢查：pass。
- 分部積分：
∫(x) · (exp(x)) dx = (x) · (exp(x)) - ∫(exp(x)) · (1) dx
L02
(x^2-1)/(x-1) → 2
實數變數。產品（原始英文輸出）：Verified by 1 exact L'Hôpital application followed by direct substitution.；參考答案檢查：pass；步驟檢查：pass；定義域檢查：pass。
- 羅必達法則：
lim 2 · x / 1
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