带详细步骤的链式法则计算器

先从外向内阅读表达式。想一想：如果把一个数代入函数，最后执行的是什么运算？这一步就是最外层。在 (x²+1)³ 中，要先平方、加一，最后取三次方，所以三次方在外层；在 sin(x²) 中，正弦作用于已经完成的平方结果。这个阅读方法比寻找记忆中的固定形状更可靠，也适用于根式、对数、指数以及多层嵌套。 接着把内层表达式暂记为 u。代换在代数上并非必需，却能把学生容易混在一起的两项工作分开：先对 u 求外层函数的导数，再乘以 du/dx。对于 y=(x²+1)³，可写成 y=u³、u=x²+1，于是 dy/du=3u²、du/dx=2x，还原 u 后得到 6x(x²+1)²。清晰的链式法则计算器应展示这两个因子，让每一部分的来源都可见。 遇到更长的复合函数，要在每一层重复同样的判断。若 y=sin((x²+1)³)，导数包含来自正弦的余弦因子、来自三次方的 3(x²+1)²，以及来自二次式的 2x。从外向内可写为 cos((x²+1)³)·3(x²+1)²·2x。常数可以随后化简，但先保留结构更容易发现遗漏的层。相同逻辑也能解释 d/dx exp(sin x)=exp(sin x)·cos x，以及 d/dx log(1+x²)=2x/(1+x²)。 不要把复合关系和乘法混淆。sin(x²) 是复合函数，因为 x² 是正弦函数的输入；x²sin(x) 是乘积，因为两个因子相乘。一道题也可能同时需要两种规则：对 x²sin(x³) 求导时，最外层先用乘积求导法则，而第二项中的 sin(x³) 再用链式法则。商的内部也可能含有复合函数。应先识别最外层结构，再为每个嵌套部分选择合适规则。 快速检查时，可以在化简前确认预期因子。外层导数中应保留原来的内层表达式，并且每个非平凡内层都应贡献一个导数因子。也可以在正常点附近比较数值斜率，观察符号和数量级是否与符号导数一致。数值检查不能证明恒等式，但能发现许多符号错误和遗漏的内层导数。CalculusMate 对受支持的输入使用确定性符号规则，遇到规则外结构会明确提示，而不是用生成文字填补。 书写最终解答时，可以依次保留四行：定义 u、写出链式法则、分别求两个导数、代回并化简。这样的格式既适合作业，也便于检查。页面上的动态步骤遵循相同顺序，目的是帮助你理解 dy/dx 中每个因子的来源，而不是只提供可抄写的结果。