隐函数求导计算器

先确认输入的是方程，而不是单独的表达式。x²+y²=25 这样的隐式关系同时描述许多有序数对。虽然 y 没有写成 y(x)，它仍会随 x 沿曲线变化，因此含 y 的项求导时会出现 dy/dx。25 或固定参数 r 的 r² 等常数求导为零。 对等号两边的每一项同时关于 x 求导。只含 x 的项使用普通规则；只含 y 的项使用链式法则，例如 d/dx(y²)=2y·dy/dx，d/dx(sin y)=cos(y)·dy/dx。xy 这样的混合项需要乘积求导法则，导数是 y+x·dy/dx。在每个受影响的 y 项旁明确写出 dy/dx，可以避免把 y 错当常数。 求导后，把所有含 dy/dx 的项移到一侧，其余项移到另一侧，再提取 dy/dx 并相除。对于 x²+xy+y²=1，求导得 2x+y+x·dy/dx+2y·dy/dx=0，整理为 (x+2y)dy/dx=−(2x+y)，所以 dy/dx=−(2x+y)/(x+2y)。把方程写成 F(x,y)=0 后，也可用紧凑公式 dy/dx=−Fₓ/Fᵧ 得到同样结果。 偏导数公式只是更简洁的计算路径，并没有省略背后的链式法则。Fₓ 表示固定 y 时关系随 x 的变化，Fᵧ 表示 y 方向的变化；沿曲线两者必须平衡，因此 Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0。CalculusMate 会展示原关系、两个偏导数及其负比值，使推理过程保持可检查。 符号导数不等于某一点的数值斜率。求点处斜率时，先确认该点满足原方程，再把两个坐标代入 dy/dx。例如在圆 x²+y²=25 的点 (3,4) 处，斜率为 −3/4。不在圆上的点对这条曲线没有意义。若分母为零，应检查竖直切线或奇点，而不是给出普通有限斜率。 有些关系包含多个分支。把圆显式解出会得到上下两个分支，而隐函数求导能用一个公式同时处理，斜率符号由坐标决定。这种方法可以避免不必要的代数运算，也能处理难以解出 y 的方程。但它仍要求关系在该点附近可微，并且隔离 dy/dx 时使用的分母不为零。 清晰的书写应依次保留原方程、等号两侧各项的导数、每个链式法则产生的 dy/dx、合并因子以及最终化简。页面按这一顺序展示确定性的符号斜率，不会静默处理奇异曲线，也不会在数学条件不足时擅自选择分支。