微积分学习中心

从方法选择到独立完成下一题

先理解公式为什么成立，再通过递进例题、错误诊断和对应计算器完成同一知识点的练习。

导数公式与求导方法

指数函数求导

eˣ 的导数为什么还是 eˣ：指数函数求导与链式法则

d/dx(eˣ)=eˣ；d/dx[eᵍ⁽ˣ⁾]=eᵍ⁽ˣ⁾g′(x)

实数范围内 aˣ 要求 a>0。复合指数还要求内层函数可导；计算器中的 exp(x) 表示 eˣ。

基础求导

幂函数求导公式怎么用：指数、系数与例题

若 n 为常数，则 d/dx(xⁿ)=n · xⁿ⁻¹。

幂函数公式适用于固定指数；遇到复合函数时，还要乘以内层函数的导数。

求导方法

乘积求导法则怎么用：公式、步骤与常见错误

若 y=u(x)v(x)，则 y′=u′v+uv′。

当表达式的最外层运算是两个依赖 x 的因子相乘时使用乘积求导法则。

求导方法

商的求导法则怎么用：分子分母求导步骤与例题

若 y=u/v 且 v≠0，则 y′=(u′v−uv′)/v²。

当最外层结构是两个依赖 x 的函数相除，而且不适合先化简时使用商的求导法则。

根式求导

根号 x 怎么求导：公式、定义域与复合根式例题

d/dx √x = 1/(2√x)

实数范围内 √x 的定义域是 x≥0，但这个有限导数公式要求 x>0。

常用导数

ln(x) 的导数为什么是 1/x：推导、定义域与例题

在 x>0 时，d/dx ln(x)=1/x。

实数范围内 ln(x) 要求 x>0；对 ln(g(x)) 求导还需 g(x)>0。

多元微积分

偏导数怎么求：固定其他变量的步骤与例题

对某个变量求偏导时，把其他独立变量暂时视为常数。

该规则适用于多元函数的偏导；如果变量之间存在隐式依赖，则需要使用隐函数求导。

求导方法

链式法则怎么用：识别内外层、完整求导与例题

若 y=f(g(x))，则 y′=f′(g(x))g′(x)。

当一个可导函数被代入另一个可导函数时使用链式法则；外层导数必须保留原来的内层输入。

隐函数求导

隐函数求导怎么做：dy/dx、链式法则与完整步骤

把 y 看成 y(x)，对方程两边求导，再收集含 dy/dx 的项并解出它。

适用于没有把 y 单独写出的关系式；分母为 0 或奇异点需要另行分析。

积分方法与定积分

积分方法

换元积分法怎么用：识别内层函数与完整步骤

若被积函数含有 f(g(x))g′(x)，可令 u=g(x)，把积分化为关于 u 的形式。

换元后原积分中的 x 必须全部被替换；定积分还要同步更换上下限或最后代回。

定积分

定积分为什么不等于图形总面积：符号与分段方法

定积分计算带符号的净面积；总面积要把 x 轴上下的各部分都按正值相加。

函数在区间内改变符号时，总面积必须在零点处分段，或计算 |f(x)| 的积分。

极限与方向

极限基础

单侧极限怎么看：左极限、右极限与图像判断

x→a⁻ 表示从小于 a 的一侧接近，x→a⁺ 表示从大于 a 的一侧接近。

双侧极限存在需要左右极限相等；函数在 a 点的取值可以与极限不同或不存在。