微積分の学習ライブラリ

答えだけでなく、規則が成り立つ理由から学ぶ

短い証明、条件、例題、よくある間違いを確認し、同じ式を決定論的な計算機で試せます。

微分公式と微分法

指数関数の微分

eˣ の微分はなぜ eˣ？指数関数と合成関数の微分

d/dx eˣ=eˣ; d/dx exp(g(x))=exp(g(x))g′(x)

実数の範囲で aˣ を扱うときは a>0 とします。合成関数では内側の関数も微分可能である必要があります。

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微分の基本

べき関数の微分：公式の使い方と例題

n が定数なら、d/dx(xⁿ)=n · xⁿ⁻¹ です。

指数が固定されている場合に使い、底が合成関数なら内側の導関数も掛けます。

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微分法

積の微分法の使い方：公式の順序と例題

y=u(x)v(x) なら、y′=u′v+uv′ です。

式の最上位が、x に依存する二つの因子の積になっているときに使います。

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平方根の微分

√x の微分：公式と定義域、合成関数の例題

d/dx √x = 1/(2√x)

実数の範囲で √x は x≥0 で定義されますが、この有限な導関数の公式は x>0 で使います。

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基本公式

ln(x) の微分が 1/x になる理由と定義域

x>0 で、d/dx ln(x)=1/x です。

実数では ln(x) の入力は正であり、ln(g(x)) では g(x)>0 が必要です。

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多変数微積分

偏微分の求め方：他の変数を固定する手順と例題

一つの変数で偏微分するとき、他の独立変数は定数として扱います。

独立な多変数関数に対する規則です。変数間に暗黙の依存関係がある場合は陰関数微分を検討します。

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微分法

合成関数の微分（連鎖律）：内側と外側の見分け方と例題

y=f(g(x)) なら、y′=f′(g(x))g′(x) です。

微分可能な関数の中に別の微分可能な関数が入っているときに使います。

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陰関数微分

陰関数微分のやり方：dy/dx を求める手順

yをy(x)とみなし、両辺をxで微分してからdy/dxを含む項をまとめます。

y が明示されていない関係式で使います。分母が 0 になる点や特異点は別途調べます。

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積分法と定積分

積分法の選択

置換積分と部分積分はどう使い分ける？式の形から判断する方法

f(g(x))g′(x) の形なら置換積分、積の一方を微分すると簡単になるなら部分積分を検討します。

これは積分法を選ぶための目安であり、どちらかを使えば必ず初等関数で積分できるという意味ではありません。

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定積分

定積分が図形の総面積と一致しないのはなぜ？

定積分は符号付きの正味面積です。総面積は x 軸の上下にある領域の大きさをすべて正として足します。

積分区間内で関数の符号が変わる場合、総面積は関係する零点ごとに区間を分けて求めます。

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極限

片側極限

左極限と右極限が異なるとき、両側極限は存在しない

両側極限が存在するのは、左極限と右極限が同じ値に近づく場合だけです。

近づく点の左右で式の振る舞いが変わる可能性があるときは、両方向を別々に確認します。

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