陰関数微分計算機

まず、入力が式であるか、単独の式であるかを確認してください。x²+y²=25のような陰関数は、複数の順序対を表します。yがy(x)として明示されていないものの、xが曲線を移動するにつれてyの値は変化します。この隠れた依存関係が、y項の導関数がdy/dxとなる理由です。25やr²といった定数（rが固定されている場合）は微分すると0になります。 両辺のすべての項をxについて微分します。純x項は通常のルールに従います。純y項は連鎖律を使用します：d/dx(y²)=2y·dy/dx および d/dx(sin y)=cos(y)·dy/dx.。xyのような混合項は積の微分法を使用する必要があります。なぜなら、両方の因子が曲線を移動する際に変化するからです。その微分はy+x·dy/dx.です。影響を受けるすべてのy項の導関数記号を付けることで、最も一般的な誤り——yを定数と見なす——を防ぎます。 微分後、dy/dxを含むすべての項を一方の側に集め、残りの項をもう一方の側に移動し、dy/dxを因数にまとめて割ります。x²+xy+y²=1の場合、微分により2x+y+x·dy/dx+2y·dy/dx=0.が得られます。集約すると(x+2y)dy/dx=−(2x+y)となり、割り算によりdy/dx=−(2x+y)/(x+2y). と得られます。これは、関係式をF(x,y)=0.と書き換えた後にdy/dx=−Fₓ/Fᵧというコンパクトな恒等式によって得られる結果と一致します。 偏導関数の恒等式は計算に便利ですが、根本的な連鎖律を除去しません。Fₓはyを固定しながらxが動くときに関係がどのように変化するかを表します。Fᵧはy方向の変化を表します。曲線上ではその変化がバランスを保つため、Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0が成り立ちます。CalculusMateは関係式、2つの偏導関数、およびその負の比を表示することで、論理の追跡を可能にします。 記号的な導関数は自動的に数値的な傾きとは限りません。ある点での傾きを求めるには、まずその点が元の式を満たしているかを検証し、その後、両座標をdy/dxに代入します。x²+y²=25の点(3,4)において、傾きは−3/4.です。曲線にない点は、その曲線に対して意味を持ちません。式に代入できるとしてもです。分母が0の場合、垂直な接線または特異点を検討し、通常の有限傾きを報告するのではなく、それらを検討してください。 いくつかの関係は複数の枝を含みます。円を明示的に解くと上部と下部の枝が得られますが、陰関数微分は1つの式で両方を処理できます。座標値が符号を決定します。これが陰関数微分が有用である理由の一つです：不要な代数を避けて、yを孤立させることが難しい場合でも処理可能です。ただし、この方法は関係が点の近傍で微分可能であることを前提とし、dy/dxを孤立するために使用された分母が0でないことを仮定しています。 明確な記述のため、元の式を保持し、両辺の導関数を示し、すべての連鎖律dy/dx因子をマークし、それらの因子をまとめてから簡略化します。ページはこの順序に従っています。1つのサポートされた式を受け取り、決定論的な記号的な傾きを返します。特異な曲線を無視して解くことや、数学的に追加の分析が必要な場合に枝を無理に生成することはありません。