陰関数微分

陰関数微分のやり方：dy/dx を求める手順

陰関数微分では y も x とともに変化すると考えます。そのため y を含む式を x で微分すると、連鎖律によって dy/dx が現れます。

先に結論

yをy(x)とみなし、両辺をxで微分してからdy/dxを含む項をまとめます。

y が明示されていない関係式で使います。分母が 0 になる点や特異点は別途調べます。

x²+y²=25 を微分する

方程式の両辺を x で微分します。x² は 2x、定数 25 は 0 です。

y=y(x) なので、y² の導関数は 2y·dy/dx です。

2x+2y·dy/dx=0 から dy/dx を分離すると、dy/dx=−x/y になります。

点で傾きを求める前に、その点が元の曲線上にあることと、分母が 0 でないことを確認します。

1
x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
2
2x+2y · dy/dx=0
3
dydx=−xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{-x}{y}

例題

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
y′ = −x/y

y の各項に連鎖律の因子を付けます。

xy = 6
y′ = −y/x

xy は x と y の積なので積の微分法が必要です。

y2=x3+1y^{2} = x^{3} + 1
y′ = 3x²/(2y)

式を求めてから、曲線上の点を代入します。

よくある間違い

  • • y を x と無関係な定数として扱うこと。
  • • y² の微分で dy/dx を付けないこと。
  • • xy に積の微分法を使わないこと。
  • • 点が元の方程式を満たすか確認しないこと。

例題を計算機で確認

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

陰関数微分:x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25陰関数微分:x2+x y+y2=1x^{2} + x\,y + y^{2} = 1
入力例なしで開く: 陰関数微分

参考資料

よくある質問

なぜ y の微分に dy/dx が付きますか？+

y は x の関数なので、連鎖律でその変化率を掛ける必要があります。

先に y を解いてから微分できますか？+

可能な場合もありますが、複数の枝が生じるため陰関数微分の方が直接的です。

分母が 0 なら導関数は必ず存在しませんか？+

通常の有限傾きとしては扱えません。垂直接線や特異点を別に確認します。

まとめ

両辺を項ごとに微分し、y の項には dy/dx を付けます。それらをまとめて解き、点と分母の条件を最後に確認します。

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