多変数微積分
偏微分の求め方：他の変数を固定する手順と例題
偏微分は、一つの入力だけを動かしたときの変化を測ります。最初に x と y のどちらで微分するかを明示すると、固定する変数を取り違えません。
先に結論
一つの変数で偏微分するとき、他の独立変数は定数として扱います。
独立な多変数関数に対する規則です。変数間に暗黙の依存関係がある場合は陰関数微分を検討します。
f(x,y)=x²y+3y² の二つの偏導関数
fₓ では y を定数とします。x²y の導関数は 2xy、3y² は x を含まないので 0 です。
したがって fₓ=2xy です。固定した y は係数として結果に残ります。
fᵧ では x を固定し、x²y は x²、3y² は 6y になるので fᵧ=x²+6y です。
二つの結果は異なる方向の変化率です。答えには下付き文字を付け、方向を明確にします。
1
y を固定：fₓ=2xy
2
x を固定：fᵧ=x²+6y
3
方向ごとに結果が変わる
例題
x で微分すると y だけの項は定数です。
∂/∂y (sin(xy))
x cos(xy)
xy の x 偏微分は y、y 偏微分は x です。
∂²/∂y∂x (x²y+y³)
二階偏微分は一回目の結果から続けます。
よくある間違い
- • 微分する変数を確認しないこと。
- • 固定変数を定数として残さず削除すること。
- • 偏微分と陰関数微分を混同すること。
- • 二階偏微分で元の関数からやり直すこと。
例題を計算機で確認
各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。
入力例なしで開く: 偏微分計算機参考資料
よくある質問
y を固定するとは、常に定数という意味ですか？+
いいえ。その x 偏微分の計算中だけ変化させないという意味です。
結果に y が残ってもよいですか？+
はい。固定した値によって x 方向の傾きが変わるため、通常は残ります。
混合偏導関数はどう求めますか？+
一つの変数で偏微分した結果を、次の変数でもう一度偏微分します。
まとめ
偏微分では方向を先に決め、他の独立変数を定数として各項を処理します。固定変数は削除せず係数として残します。
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