微分法

合成関数の微分（連鎖律）：内側と外側の見分け方と例題

連鎖律では式を外側から内側へ読みます。外側を微分したあとも元の内側を残し、最後に内側の微分を掛けることが重要です。

先に結論

y=f(g(x)) なら、y′=f′(g(x))g′(x) です。

微分可能な関数の中に別の微分可能な関数が入っているときに使います。

y=(x²+1)³ を層に分けて微分する

内側を u=x²+1、外側を y=u³ と置くと、二つの変化率が見えます。

外側は dy/du=3u²、内側は du/dx=2x です。外側の式にある u は元の入力を表します。

二つを掛けて u を戻すと、dy/dx=6x(x²+1)² になります。

三層以上でも同じです。最外層から順に微分し、途中の層を飛ばさず、すべての変化率を掛けます。

1
u=x²+1、y=u³
2
dy/du=3u²、du/dx=2x
3
dydx=6 x (x2+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

例題

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

sin の外側微分と x² の内側微分を掛けます。

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

指数関数は元の入力を保ち、一次式の微分 3 を掛けます。

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

対数の定義域を確認しながら二つの層を処理します。

よくある間違い

  • • 外側だけを微分して内側の微分を掛けないこと。
  • • 外側を微分するときに元の内側をその導関数へ置き換えること。
  • • 合成と積を見分けず、最初から積の微分法を使うこと。
  • • 多層の合成関数で中間の層を飛ばすこと。

例題を計算機で確認

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

合成関数の微分計算:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
入力例なしで開く: 合成関数の微分計算

参考資料

よくある質問

合成関数はどう見分けますか？+

一つのまとまった式を u と置いたとき、全体が f(u) と書けるかを確認します。

積の微分法と連鎖律は同時に使えますか？+

使えます。最上位が積なら積の微分法を使い、各因子の内部で連鎖律を使います。

なぜ内側の微分を掛けるのですか？+

外側の出力変化と、内側の入力が x に対して変化する速さを結び付けるためです。

まとめ

連鎖律では外側から内側へ層を確認し、元の入力を保ったまま各層の導関数を掛けます。

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