Métodos de derivação

Como usar a regra da cadeia: camadas, exemplos e erros comuns

Uma função composta muda em camadas. A função externa responde à variação de sua entrada, enquanto a função interna determina a rapidez dessa entrada. A regra da cadeia multiplica essas taxas. O ponto difícil não é decorar a fórmula, mas preservar cada entrada e não esquecer nenhuma camada.

Resposta direta

Se y=f(g(x)), então y′=f′(g(x))g′(x).

Use a regra da cadeia quando uma função diferenciável recebe outra função diferenciável como entrada.

Regra da cadeia ou regra do produto?

Observe primeiro a operação principal. Uma função aplicada a outra é composição; dois fatores que dependem de x e são multiplicados formam um produto.

Pergunte primeiro 1

A expressão pode ser escrita como f(g(x))?

O que fazer

Use a regra da cadeia: derive a função externa em g(x) e multiplique por g′(x).

Pergunte primeiro 2

Existem dois fatores dependentes de x multiplicados?

O que fazer

Use primeiro a regra do produto e aplique a regra da cadeia dentro de cada fator composto.

Pergunte primeiro 3

Há três ou mais camadas aninhadas?

O que fazer

Derive de fora para dentro e multiplique a taxa de cada camada, sem pular a intermediária.

Método completo: y=(x²+1)³

Separe a estrutura: defina u=x²+1 e escreva y=u³. Isso deixa visíveis a função interna e a externa.

Derive a função externa em relação a u: dy/du=3u². Depois derive a interna em relação a x: du/dx=2x.

Multiplique as duas taxas e substitua u: dy/dx=(3u²)(2x)=6x(x²+1)². A expressão original é uma composição, não um produto de duas funções.

Para conferir, associe cada fator do resultado a uma camada: 3(x²+1)² vem da potência externa e 2x vem da função interna.

1
u=x²+1, y=u³
2
dy/du=3u², du/dx=2x
3
dydx=6 x (x2+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

Exemplos resolvidos

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

A derivada externa é o cosseno; 2x é a derivada interna.

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

A exponencial preserva a entrada e a função interna fornece o fator 3.

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

Derive primeiro o quadrado e depois o logaritmo; no cálculo real, x>0.

Erros comuns

  • • Derivar apenas a função externa e esquecer de multiplicar pela derivada interna.
  • • Usar a regra do produto só porque há várias partes visíveis, sem verificar se a operação principal é composição.
  • • Trocar a entrada interna por sua derivada dentro da função externa.
  • • Em três camadas, derivar a primeira e a última, mas omitir a camada intermediária.

Diagnóstico de erro: qual fator ficou faltando?

Tentativa incorreta

[sin(x²)]′=cos(x²)

Por que falha

A função seno foi derivada, mas faltou a taxa de variação de x².

Correção

[sin(x²)]′=2x cos(x²)

Tentativa incorreta

[(x²+1)³]′=3(x²+1)²

Por que falha

A regra da potência externa está correta, mas a derivada interna 2x foi omitida.

Correção

[(x²+1)³]′=6x(x²+1)²

Pratique uma camada de cada vez

Nomeie a função externa e a interna antes de revelar a resposta. O segundo exercício tem três taxas multiplicadas.

ddx[ln⁡(x2+4)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 4\right)\right]

Confira antes de resolver

Derive ln(u) e depois u=x²+4.

Mostrar a resposta de referência

Resposta de referência

2 xx2+4\frac{2\,x}{x^{2} + 4}
ddx[sin⁡((x2+1)3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)\right]

Confira antes de resolver

Mantenha visíveis as camadas seno, cubo e função quadrática.

Mostrar a resposta de referência

Resposta de referência

6 x (x2+1)2 cos⁡((x2+1)3)6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\cos\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)

Teste os exemplos na calculadora

Cada link abre a calculadora correspondente com a expressão, a variável e as condições necessárias já preenchidas.

Calculadora da regra da cadeia:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
Abrir a calculadora sem exemplo preenchido: Calculadora da regra da cadeia

Referências

Perguntas frequentes

Por que as derivadas das camadas são multiplicadas?+

A variação da saída por unidade de x combina a resposta da função externa com a velocidade da entrada interna.

Quando a regra do produto também é necessária?+

Quando a operação principal multiplica dois fatores dependentes de x. Cada fator ainda pode exigir a regra da cadeia internamente.

Como verificar se esqueci uma camada?+

Reescreva a composição com variáveis temporárias e associe cada fator do resultado a uma das camadas identificadas.

Conclusão

Leia a derivada composta por camadas: preserve a entrada de cada função, multiplique todas as taxas internas e escolha a regra principal pela estrutura, não pela aparência.

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