Calculadora de derivadas parciais em relação a x e y

Uma função multivariada pode variar em várias direções independentes. A notação ∂f/∂x faz uma pergunta precisa: como a função f muda quando x varia e todas as demais variáveis independentes são mantidas constantes? Para ∂f/∂y, os papéis invertem. Essa instrução diferencia uma derivada parcial de uma derivada de uma variável única, mesmo que as regras algébricas pareçam familiares. Antes de derivar, circule a variável indicada no operador. Trate qualquer outro símbolo independente como um coeficiente constante. Para f(x,y)=x²y+y³, derivando em relação a x transforma x²y em 2xy porque y é fixa, enquanto y³ se anula. Derivando em relação a y, x²y se torna x² e y³ se torna 3y². As duas respostas corretas diferem porque medem mudanças em direções diferentes na mesma superfície. As regras do produto e da cadeia ainda se aplicam. Para f=sin(xy), o interior é xy. Em relação a x, y é constante, então a derivada interna é y e o resultado é y cos(xy). Em relação a y, a derivada interna é x, gerando x cos(xy). Para exp(x²+y²), a derivada parcial em relação a x é 2x exp(x²+y²), enquanto a derivada parcial em relação a y é 2y exp(x²+y²). Manter a expressão interna inalterada é uma verificação útil. A notação de ordem superior registra direções repetidas. A expressão ∂²f/∂x² significa derivar duas vezes em relação a x. Uma derivada mista como ∂²f/∂y∂x aplica as operações na ordem indicada. Nesta página, derivadas parciais repetidas para uma variável selecionada usam o controle de ordem. Para uma derivada mista, calcule a primeira derivada, copie o resultado, troque a variável e calcule novamente. Esse fluxo de duas etapas mantém a ordem explícita e reduz erros de notação. Geometricamente, z=f(x,y) é uma superfície. Fixar y dá uma curva cortada na superfície na direção do x, e ∂f/∂x é a inclinação dessa curva. Fixar x dá a fatia perpendicular na direção y. Em um ponto, essas duas inclinações formam os componentes usados para construir o gradiente. Elas não descrevem por si só todas as derivadas direcionais, mas são a base para otimização, planos tangentes e modelos multivariados. As unidades importam nas aplicações. Se f é temperatura e x é distância, ∂f/∂x é uma mudança de temperatura por unidade de distância enquanto os outros coordenadas são fixos. Se f é custo dependente de quantidade e tempo, a derivada parcial escolhida descreve um efeito marginal sob uma suposição de fixação. Sempre leve essas suposições para a interpretação; uma expressão simbólica sozinha não pode dizer se as variáveis são realmente independentes no sistema real. Verifique o resultado perguntando se todos os termos com variáveis inativas desapareceram e se os símbolos inativos permaneceram como constantes onde multiplicam termos ativos. Você também pode comparar os resultados em x e y para simetria quando a função original é simétrica. O CalculusMate usa a mesma árvore de diferenciação determinística da ferramenta comum de derivadas, com o símbolo selecionado definindo o que muda. Use o calculador de derivação implícita quando x e y estão ligados por uma equação e y deve seguir x em vez de permanecer fixo.