Funções compostas · Cada camada visível
Derive funções compostas como (x²+1)³ ou sin(x²). Identifique a função externa e a função interna, aplique a regra da cadeia e mantenha a derivada interna visível.
Use a calculadora geral de derivadas para derivadas comuns ou de ordem superior. Esta página separa as camadas de uma função composta. Todas as ferramentas de derivadas
Entenda a estrutura aninhada
Um útil calculador de derivada da regra da cadeia revela qual função está fora e qual expressão está dentro, e por que ambas as derivadas são necessárias.
A regra da cadeia se aplica quando uma função é avaliada dentro de outra. Em (x²+1)³, o cubo está fora e x²+1 está dentro. Em sin(x²), o seno está fora e x² está dentro.
Renomeie a expressão interna u quando as camadas parecem lotadas. Depois, derive a função externa em relação a u, restaure a expressão interna original e multiplique por du/dx.
Para (x²+1)³, trate x²+1 como um único objeto. A potência externa se torna 3(x²+1)². Multiplicando pela derivada interna 2x, obtém-se 6x(x²+1)².
Para sin(x²), a derivada externa é cos(x²) e a derivada interna é 2x. Para exp(3x+1), a exponencial permanece e a parte linear interna contribui com 3.
Expressões como sin((x²+1)³) contêm três camadas. Trabalhe da fora para dentro e mantenha um fator de derivada para cada camada, em vez de pular diretamente para uma resposta simplificada.
Uma regra da cadeia pode também estar dentro de um produto ou quociente. Aplicar primeiro a regra top-level, depois use a regra da cadeia separadamente em qualquer fator que contenha uma composição.
Um resultado correto contém a derivada da externa avaliada na interna inalterada, seguida pela derivada interna. Omissão desse fator final é o erro mais comum na regra da cadeia.
CalculusMate recalculará derivadas de primeira ordem com sua árvore determinística. Respostas equivalentes podem parecer diferentes, então compare a estrutura da regra antes de comparar o formato.
Tente a mesma função interna com várias funções externas: (x²+1)⁴, sin(x²+1), exp(x²+1) e log(x²+1). A derivada interna 2x se repete enquanto o fator externo muda. Em seguida, inverte o exercício mantendo o seno externo e alterando sua entrada. Isso isolará a contribuição de cada camada. Antes de abrir a resposta, preveja o número de fatores derivativos e seus sinais. Após resolver, expanda apenas se exigido; as formas fatoradas da regra da cadeia são frequentemente mais fáceis de verificar e de usar em cálculos posteriores. Se duas formas parecerem diferentes, substitua um valor simples ou simplifique sua razão, em vez de assumir que uma está errada. Por fim, explique a solução em voz alta na ordem externa, interna, multiplicar. Ser capaz de nomear esses três passos é um teste mais forte de compreensão do que reproduzir uma fórmula memorizada.
Padrões de regra da cadeia resolvidos
Defina u=x²+1. Derive u³, restaure a parte interna e multiplique por 2x para obter 6x(x²+1)².
Mantenha x² dentro do cosseno, então multiplique pela derivada de x². O resultado é 2x·cos(x²)
A exponencial se replica enquanto a função interna linear contribui com um fator de 3.
O motor trata de potências suportadas e composições comuns de trigonometria, exponenciais, logaritmos e raízes. Exponentes variáveis e funções especializadas podem ser relatados como não suportados, em vez de serem adivinhadas.
Para y=f(g(x)), dy/dx=f′(g(x))·g′(x): derive a função externa na parte interna inalterada, depois multiplique pela derivada interna.
Use a regra da cadeia para funções aninhadas e a regra do produto para fatores multiplicados. Algumas expressões exigem ambas.
Cálculos centrais suportados mostram o caminho ordenado da regra sem necessidade de cadastro. Simplificações algébricas pequenas podem ser agrupadas.
Sim, quando cada operação aninhada pertence ao conjunto de regras determinístico atual.
