Equações em x e y · Resolva para dy/dx

Calculadora de derivação implícita

Insira uma equação contendo x e y. Diferencie os dois lados, trate y como função de x e isole dy/dx com uma identidade de derivada parcial determinística.

Reconhecimento da estrutura da equaçãody/dx mostrado explicitamenteResposta calculada, não gerada por IA

Espaço de trabalho dedicado

Diferenciação implícita

Motor

Use ^ para potências e parênteses nas funções. Você pode inserir sec(x) e arctan(x) diretamente; as funções trigonométricas usam radianos.

Tente um exemplo

Visualização do problema em tempo real

Se y já estiver explícito como y=f(x), use a calculadora de derivadas comum. Esta página trata equações em que x e y aparecem de forma implícita. Todas as ferramentas de derivadas

Derivar uma relação

O que é derivação implícita?

A derivação implícita encontra a derivada quando y é definida por uma equação, sem estar isolada como y=f(x). Cada termo com y precisa levar em conta sua dependência em relação a x.

Por que dy/dx aparece ao lado de y

Em x²+y²=25, y varia com x ao longo da circunferência. Derivar y², portanto, dá 2y·dy/dx através da regra da cadeia, e não simplesmente 2y.

Ao derivar os dois lados, obtemos 2x+2y·dy/dx=0. Depois de isolar dy/dx, chegamos a dy/dx=−x/y nos pontos em que y≠0.

Organize o cálculo com derivadas parciais

Escreva a equação na forma F(x,y)=0. A derivada total é Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0; portanto, dy/dx=−Fₓ/Fᵧ quando Fᵧ≠0.

A calculadora analisa ambos os lados, forma uma relação, calcula as duas derivadas parciais com o motor determinístico e exibe a razão negativa.

Produtos contendo x e y

Em x²+xy+y²=1, a regra do produto transforma xy em y+x·dy/dx. As derivadas dos outros termos são 2x e 2y·dy/dx.

Agrupando os termos derivados resulta (x+2y)dy/dx=−(2x+y), portanto a inclinação é −(2x+y)/(x+2y).

Interprete uma derivada indefinida

Quando Fᵧ é zero, dy/dx pode ser indefinida, uma tangente vertical pode ocorrer ou o ponto pode ser singular. Um denominador nulo é informação matemática.

Verifique se qualquer ponto substituído na derivada também satisfaz a equação original. A fórmula simbólica da inclinação aplica-se apenas ao longo da relação indicada.

Uma forma confiável de encontrar dy/dx implicitamente

Comece verificando que a entrada é uma equação, não uma expressão isolada. Uma relação implícita como x²+y²=25 descreve muitos pares ordenados ao mesmo tempo. Embora y não seja escrito como y(x), seu valor muda quando x se move ao longo da curva. Essa dependência oculta é o motivo pelo qual as derivadas de termos com y produzem dy/dx. Constantes como 25 ou r², quando r é fixo, diferenciam-se a zero. Diferencie cada termo em ambas as partes em relação a x. Termos puramente em x seguem regras ordinárias. Termos puramente em y usam a regra da cadeia: d/dx(y²)=2y·dy/dx e d/dx(sin y)=cos(y)·dy/dx.. Um termo misto como xy exige a regra do produto, pois ambos os fatores podem variar ao longo da curva. Sua derivada é y+x·dy/dx.. Colocar o marcador da derivada ao lado de cada termo afetado por y evita o erro mais comum, que é tratar y como uma constante. Após diferenciar, agrupe todos os termos contendo dy/dx em um lado. Mova os termos restantes para o outro lado, fatore dy/dx e divida. Para x²+xy+y²=1, a diferenciação resulta em 2x+y+x·dy/dx+2y·dy/dx=0.. O agrupamento produz (x+2y)dy/dx=−(2x+y), e a divisão dá dy/dx=−(2x+y)/(x+2y).. Esse é o mesmo resultado obtido pela identidade compacta dy/dx=−Fₓ/Fᵧ após a equação ser escrita como F(x,y)=0.. A identidade da derivada parcial é um caminho computacional limpo, mas não elimina a regra da cadeia. Fₓ mede como a relação muda quando x se move enquanto y é mantido fixo. Fᵧ mede a variação na direção y. Ao longo da curva, essas variações devem se equilibrar, o que leva a Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0. O CalculusMate exibe a relação, as duas derivadas parciais e sua razão negativa, para que o raciocínio permaneça revisável. Uma derivada simbólica não é automaticamente uma inclinação numérica. Para encontrar a inclinação em um ponto, verifique primeiro que o ponto satisfaça a equação original, depois substitua as coordenadas em dy/dx. Para a circunferência x²+y²=25 no ponto (3,4), a inclinação é −3/4.. Um ponto fora da circunferência não tem significado para essa curva, mesmo que possa ser inserido na fórmula. Se o denominador for zero, investigue uma tangente vertical ou um ponto singular, em vez de reportar uma inclinação finita ordinária. Algumas relações contêm várias ramificações. Resolver explicitamente uma circunferência dá uma ramificação superior e uma inferior, mas a derivação implícita trata ambas com uma única fórmula. Os valores das coordenadas determinam o sinal. Isso é uma razão pela qual a derivação implícita é útil: evita cálculos desnecessários e pode funcionar mesmo quando é difícil isolar y. No entanto, o método assume que a relação é diferenciável perto do ponto e que o denominador usado para isolar dy/dx é não nulo. Para escrita clara, mantenha a equação original, mostre a derivada de cada lado, marque cada fator da regra da cadeia dy/dx, agrupe esses fatores e, apenas então, simplifique. A página segue essa ordem. Aceita uma única equação suportada e retorna uma inclinação simbólica determinística; não resolve curvas singulares silenciosamente nem inventa uma ramificação quando a matemática exige análise adicional.

Verifique a curva bem como os cálculos algébricos

Pratique escolhendo um ponto em cada relação e verificando a inclinação nesse ponto. Para uma circunferência, compare pontos opostos para perceber como os sinais mudam. Para xy=c, observe que a derivada −y/x coincide com a inclinação de y=c/x sempre que x for não nulo. Essas comparações conectam o método implícito a funções explícitas familiares, sem exigir que você isole sempre y. Ao revisar uma resposta, conte todas as ocorrências originais de y e confirme que sua derivada gerou um fator dy/dx, incluindo y oculto dentro de um produto ou função. Verifique também que todos os fatores derivativos foram coletados antes da divisão. Se um ponto solicitado torna o denominador nulo, volte à curva original e analise sua geometria local. Uma calculadora pode revelar essa condição, mas decidir se representa uma tangente vertical, um vértice ou um cruzamento singular exige a equação e o ponto juntos.

Equações que podem ser testadas

Observe as derivadas ocultas se tornarem visíveis

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25

A circunferência dá dy/dx=−x/y sempre que y não for nulo.

x²+xy+y²=1

O produto xy exige a regra do produto antes que os termos dy/dx sejam coletados.

xy=6

Derive o produto para obter y+x·dy/dx=0, depois resolva como dy/dx=−y/x.

Limites de equações suportadas

Insira exatamente uma equação usando aritmética e funções suportadas. A calculadora retorna uma derivada simbólica; não resolve a curva original para y nem classifica pontos singulares.

FAQ
Como inserir uma equação implícita?+

Digite uma equação como x^2+y^2=25. Use ^ para potências e * quando a multiplicação puder ficar ambígua.

Por que y é tratado como função de x?+

Ao longo da curva, mudar x geralmente altera y. A regra da cadeia registra essa dependência com dy/dx.

Pode encontrar a inclinação em um ponto?+

Retorna uma derivada simbólica dy/dx. Substitua um ponto válido da equação original para obter a inclinação numérica.

O que acontece se o denominador for zero?+

A inclinação pode ser indefinida ou a curva pode ter uma tangente vertical ou um ponto singular.

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