合成関数の微分計算機（連鎖律）

外側から内側へ式を読み取ります。数値で関数を評価する場合、最後に実行される演算が外側の層です。例えば (x²+1)³ では、まず x を二乗し、1 を加算し、その結果を立方します。この場合、立方が外側の演算です。sin(x²) では、x² が正弦関数の入力となります。この読み方の習慣は、記憶に頼る視覚的パターンよりも信頼性があります。また、ルート、対数、指数関数、複数のネスト層にも適用できます。 次に、内側の式に一時的な名前、たとえば u を与えます。代数的に置き換えは必要ありませんが、学生が混同しやすい2つの作業を分離します。u についての外側の関数を微分し、その後 du/dx. を掛けます。y=(x²+1)³ の場合、y=u³ と u=x²+1 を書きます。2つの微分は dy/du=3u² と du/dx=2x. です。それらの積は u を元に戻すと 6x(x²+1)² になります。チェインルールの微分計算機は、この2つの因子を表示することで、それぞれの部分がどこから来ているかを明確にします。 複雑な組み合わせの場合、各層に対して同じ判断を繰り返します。y=sin((x²+1)³ の場合、サインの余弦因子、立方の 3(x²+1)² 因子、二次関数の 2x 因子が導かれます。外側から内側へ進むことで、cos((x²+1)³)·3(x²+1)²·2x が得られます。定数の簡略化は後に遅らせるのが望ましいです。これにより、層が欠落していることが容易に検出できます。同じ論理が d/dx exp(sin x)=exp(sin x)·cos x および d/dx log(1+x²)=2x/(1+x²) の場合にも適用されます。 組み合わせと乗算を混同しないでください。sin(x²) は x² が正弦関数の入力であるため、組み合わせです。x²sin(x) は2つの因子が掛けられているため、積です。問題には両方のルールが必要になる場合があります。x²sin(x³) の微分はまず積の微分法を用い、sin(x³) の2つ目の項ではチェインルールを使用します。商も同様に複合関数を含むことがあります。まずトップレベルの構造を特定し、それぞれのネストされた部分に対して適切なルールで解きます。 簡略化前に期待される因子を確認することで、迅速に検証できます。外側の微分は、未変更の内側を含んでいなければなりません。すべての非自明な内側層の微分を表す因子が現れる必要があります。また、定常点の近くの数値的傾きを比較することもできます。点の左右にわずかに値を変えて、符号と近似値が符号微分と一致しているか確認できます。数値的検証は同一性を証明しませんが、符号の誤りや内側微分の欠落を多く検出します。CalculusMate は、サポートされる入力に対して決定論的な符号ルールを適用し、サポートされていない構造は生成された文章ではなく、その構造を報告します。 最終的な解を書く際は、u の識別、チェインルールの式、2つの微分、そして置き換えと簡略化の1行ずつを保持します。これは家庭課題に適した短さを持ちながら、検証に適した詳細性を提供します。このページのアニメーションは同じ順序を追っています。目的は、dy/dx に含まれる各因子の理由を理解することであり、単に結果をコピーするためではありません。