x・yについて計算できる偏微分計算機

複数の独立変数を持つ関数は、複数の独立方向で変化することができる。∂f/∂xは、1つの明確な質問を提示する。xが変化し、他のすべての独立変数を固定したとき、関数fはどのように変化するか？∂f/∂yでは、役割が逆になる。これは、代数的ルールが似ているにもかかわらず、偏微分と普通の1変数微分を区別する点である。 微分する前に、演算子に記載された変数を円を描いて囲みなさい。他の独立変数は定数係数とみなします。f(x,y)=x²y+y³について、xについて微分するとx²yは2xyに、yは固定されているため、y³は0になる。一方、yについて微分するとx²yはx²に、y³は3y²になる。この2つの正しい答えは、同じ表面における異なる方向の変化を測っているため、異なる結果になる。 積の法則や連鎖律は依然として適用される。f=sin(xy)の内部はxyである。xについて微分すると、yは定数なので内部微分はyとなり、結果はy cos(xy)になる。yについて微分すると、内部微分はxとなり、結果はx cos(xy)になる。exp(x²+y²)について、xの偏微分は2x exp(x²+y²)、yの偏微分は2y exp(x²+y²)になる。変化しない内部表現を視覚的に保持することは、チェックに有効である。 高階の記法は繰り返しの方向を記録する。∂²f/∂x²は、xについて2回微分することを意味する。混合偏微分のような∂²f/∂y∂xは、指示された順序で操作を行う。このページでは、1つの変数について繰り返し偏微分する場合、順序制御を使用する。混合偏微分の場合は、まず1回の偏微分を行い、その結果をコピーし、変数を切り替えて再度計算する。この2ステップのワークフローにより、順序が明確になり、記号の誤りを減らすことができる。 幾何学的には、z=f(x,y)は表面を表す。yを固定すると、表面をx方向に切った曲線が得られ、∂f/∂xはその曲線の傾きである。xを固定すると、垂直なy方向の断面が得られる。ある点において、これら2つの傾きは、勾配を構成する成分となる。これらだけではすべての方向微分を表すことはできないが、最適化、接平面、多変数モデルの基礎となる。 応用において単位は重要である。fが温度で、xが距離なら、∂f/∂xは、他の座標を固定したときの温度変化あたりの距離変化を意味する。fが数量と時間に依存するコストなら、選択された偏微分は、ある固定条件の下での1つの限界効果を表す。常にその仮定を解釈に含めること。単純な記号式だけでは、実際のシステムで変数が本当に独立しているかどうかを判断できない。 結果を検証するには、変数が無効な場合の項がすべて消えているか、無効な記号が活性項に定数として残っているかを確認する。元の関数が対称であれば、xとyの結果の対称性を比較することもできる。CalculusMateは、普通の微分ツールと同様の決定論的な微分ツリーを使用し、選択された記号が変化を定義する。xとyが方程式で結びついており、yがxに従って変化する必要がある場合は、陰関数微分計算機を使用する。