微分法

積の微分法の使い方：公式の順序と例題

積の導関数は u′v′ ではありません。一方だけを微分して他方を元のまま残す二つの項を作り、それらを足します。

先に結論

y=u(x)v(x) なら、y′=u′v+uv′ です。

式の最上位が、x に依存する二つの因子の積になっているときに使います。

二つの項を順に作る

第一項 u′v では u だけを微分し、v は元の形で残します。

第二項 uv′では v だけを微分し、u を元の形で残します。

例えば x²sin x の導関数は 2x sin x+x²cos x です。

因子の中に合成関数があれば、その因子の微分に連鎖律を使ってから二項を組み立てます。

y=uv

y′=u′v+uv′

各項では一方だけを微分する

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]

2x sin(x)+x²cos(x)

多項式と指数関数を一つずつ微分します。

d/dx [x exp(x)]

e^{x}\,\left(x + 1\right)

元の x² を第二項に残します。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]

2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

積の微分法の内側で連鎖律を使います。

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

x^{2}\,\sin x

x\,e^{x}

三つの関数の積はどう微分しますか？+

各項で一つの因子だけを微分し、残り二つを保つ三項の形にできます。

定数と関数の積にも必要ですか？+

定数倍はそのまま外へ出せるため、通常は積の微分法は不要です。

連鎖律と同時に使う順序は？+

まず最上位の積で二項を作り、必要な因子の内部を連鎖律で微分します。

積の微分法では u′v と uv′の二項を作ります。それぞれに元の因子が一つずつ残っているか確認してください。