求导方法

乘积求导法则怎么用：公式、步骤与常见错误

乘积的导数不等于两个导数直接相乘。正确结果包含两项：先只求第一个因子的导数，再只求第二个因子的导数，每次都保留另一个原因子。

先看结论

若 y=u(x)v(x)，则 y′=u′v+uv′。

当表达式的最外层运算是两个依赖 x 的因子相乘时使用乘积求导法则。

乘积求导法则的两项从哪里来

把乘积写成 u(x)v(x)。第一项 u′v 表示第一个因子变化、第二个因子暂时保持原样。

第二项 uv′表示第二个因子变化、第一个因子保持原样。两种变化同时影响乘积，所以需要相加。

例如 y=x²sin x，得到 y′=2x sin x+x²cos x。两项中的原函数位置不能都换成导数。

若某个因子内部还有复合函数，应在该因子内部继续使用链式法则，再回到乘积求导法则组合。

1
y=uv
2
y′=u′v+uv′
3
每一项只求一个因子的导数

递进例题

ddx[x2 sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]
2x sin(x)+x²cos(x)

多项式与指数函数分别求导，再组成两项。

d/dx [x exp(x)]
ex (x+1)e^{x}\,\left(x + 1\right)

第二项保留原来的 x²，并把 sin x 求导为 cos x。

ddx[(x2+1) cos⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]
2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

先用乘积求导法则，再在复合因子内部使用链式法则。

常见错误

  • • 把 (uv)′ 写成 u′v′。
  • • 只写 u′v，漏掉 uv′。
  • • 两项中都把两个因子同时求导。
  • • 看到括号就使用乘积求导法则，没有先判断括号之间是否真的相乘。

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

求导:x2 sin⁡xx^{2}\,\sin x求导:x exx\,e^{x}
打开无预填内容的计算器: 求导

参考资料

常见问题

三个函数相乘怎么办？+

可以逐步使用乘积求导法则，或写成三项，每一项求一个因子的导数并保留另外两个。

常数乘函数需要乘积求导法则吗？+

不需要。常数可以直接保留在导数外面。

乘积求导法则和链式法则能同时出现吗？+

可以。先处理最外层的乘积，再对内部的复合函数使用链式法则。

总结

乘积求导法则的核心是两项相加：每次只让一个因子变化。写完后检查两个原因子是否都分别在一项中被完整保留。

比较使用方案