求导方法

链式法则怎么用：识别内外层、完整求导与例题

链式法则处理的是函数嵌套。先判断最外层进行什么运算，再逐层向内求导，最后把每一层的变化率相乘。真正容易出错的地方不是公式本身，而是漏掉某一层，或者在求完外层导数后把内层表达式改掉。

先看结论

若 y=f(g(x))，则 y′=f′(g(x))g′(x)。

当一个可导函数被代入另一个可导函数时使用链式法则；外层导数必须保留原来的内层输入。

先判断：链式法则还是乘积求导法则？

先看表达式最外层的运算。一个函数接受另一个函数作为输入时使用链式法则；两个含 x 的因子相乘时，顶层先使用乘积求导法则。

先判断 1

表达式能否写成 f(g(x))？

应该怎么做

使用链式法则：先求 f′(g(x))，再乘 g′(x)。

先判断 2

是否有两个依赖 x 的因子相乘？

应该怎么做

顶层先用乘积求导法则；每个因子内部若有嵌套，再分别使用链式法则。

先判断 3

是否包含三层或更多嵌套？

应该怎么做

从最外层开始逐层向内求导，每一层的变化率都要相乘。

完整示例：y=(x²+1)³

先把结构拆开：令 u=x²+1，外层函数就是 y=u³。这样能清楚看到需要求两个变化率。

对外层求导得到 dy/du=3u²；对内层求导得到 du/dx=2x。外层导数中的 u 仍然代表原来的 x²+1。

把两个变化率相乘并代回 u：dy/dx=(3u²)(2x)=6x(x²+1)²。原式是函数嵌套，不是两个函数相乘，所以顶层不使用乘积求导法则。

检查时可以反向阅读答案：3(x²+1)² 来自外层立方，2x 来自内层 x²+1。每一层都能在结果中找到对应来源。

1
u=x²+1，y=u³
2
dy/du=3u²，du/dx=2x
3
dydx=6 x (x2+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

递进例题

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

外层正弦变为余弦，内层 x² 提供因子 2x。

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

指数函数保持原输入不变，再乘一次函数 3x+1 的导数 3。

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

先求平方的导数，再求 ln(x) 的导数；实数范围内需满足 x>0。

常见错误

  • • 只求外层函数的导数，没有乘以内层导数。
  • • 看到多个部分就使用乘积求导法则，没有先判断顶层运算是嵌套还是相乘。
  • • 求外层导数时把原来的内层表达式换成了它的导数。
  • • 多层嵌套只计算最外层和最内层，漏掉中间层。

错误诊断：漏掉的因子在哪里？

错误尝试

[sin(x²)]′=cos(x²)

问题在哪里

这里只求了外层正弦的导数，遗漏了 x² 的导数 2x。

正确处理

[sin(x²)]′=2x cos(x²)

错误尝试

[(x²+1)³]′=3(x²+1)²

问题在哪里

外层幂函数求导正确，但没有乘以内层 x²+1 的导数。

正确处理

[(x²+1)³]′=6x(x²+1)²

按层独立完成两道练习

先写出外层和内层，再查看答案。第二题包含三层结构，需要找到三个变化率。

ddx[ln⁡(x2+4)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 4\right)\right]

作答前检查

先求 ln(u) 的导数，再处理 u=x²+4。

查看参考答案

参考答案

2 xx2+4\frac{2\,x}{x^{2} + 4}
ddx[sin⁡((x2+1)3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)\right]

作答前检查

依次识别正弦、立方和二次函数三层结构。

查看参考答案

参考答案

6 x (x2+1)2 cos⁡((x2+1)3)6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\cos\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

链式法则计算器:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
打开无预填内容的计算器: 链式法则计算器

参考资料

常见问题

怎样识别复合函数？+

尝试把某个完整子表达式记为 u。如果剩余部分能写成一个熟悉的外层函数 f(u)，原式就是复合结构。

一道题能同时使用乘积求导法则和链式法则吗？+

可以。先按顶层的乘积结构使用乘积求导法则，再在含有复合函数的因子内部使用链式法则。

为什么外层导数里要保留原来的内层表达式？+

外层导数是在原内层输入处取值；内层变化的速度由另一个乘法因子单独表示。

总结

使用链式法则时，先识别嵌套层次，保留每一层的原输入，再乘上所有内层变化率。顶层运算则决定应该先用链式法则还是乘积求导法则。

比较使用方案