基本公式

ln(x) の微分が 1/x になる理由と定義域

x>0 と x<0 の区間で別々に微分すると、どちらも 1/x になります。

自然対数の導関数は入力の逆数です。合成関数では内側の導関数を掛け、公式だけでなく元の定義域も残します。

先に結論

x>0 で、d/dx ln(x)=1/x です。

実数では ln(x) の入力は正であり、ln(g(x)) では g(x)>0 が必要です。

指数関数との逆関数関係から導く

y=ln x と置くと、x=eʸ です。両辺を x で微分します。

1=eʸ·dy/dx となり、eʸ=x なので dy/dx=1/x です。

ln(g(x)) では連鎖律により g′(x)/g(x) になります。

ln|x| は x≠0 で導関数が 1/x ですが、ln x と定義域は同じではありません。

y=ln x ⇔ x=eʸ

1=eʸy′

y′=1/x

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(5\,x\right)\right]

\frac{1}{x}

1/x と x>0 をセットで確認します。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]

\frac{2\,x}{x^{2} + 1}

内側 x²+1 の導関数 2x を掛けます。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]

\frac{2\,\ln x}{x}

絶対値により負の範囲も含みますが、x=0 は除外します。

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

\ln\left(x^{2} + 1\right)

常用対数の微分も 1/x ですか？+

底が 10 なら 1/(x ln 10) です。1/x は自然対数の場合です。

ln(x²) の導関数は？+

x≠0 で 2/x ですが、元の式を x=0 へ広げることはできません。

ln|x| も 1/x になるのはなぜですか？+

x>0 と x<0 の区間で別々に微分すると、どちらも 1/x になります。

ln(x) の導関数 1/x と定義域 x>0 を一緒に覚え、ln(g(x)) では g′(x)/g(x) を使います。