常用导数

ln(x) 的导数为什么是 1/x：推导、定义域与例题

自然对数的导数是输入的倒数。公式很短，但正确使用它需要同时保留定义域，并在输入不是单独的 x 时乘以内层导数。

先看结论

在 x>0 时，d/dx ln(x)=1/x。

实数范围内 ln(x) 要求 x>0；对 ln(g(x)) 求导还需 g(x)>0。

利用指数函数的反函数关系推导

令 y=ln x，则 x=eʸ。两边对 x 求导，得到 1=eʸ·dy/dx。

因为 eʸ=x，所以 dy/dx=1/x。这一推导同时说明实数 ln x 的输入必须为正。

对 ln(g(x)) 使用链式法则，外层贡献 1/g(x)，内层贡献 g′(x)，结果为 g′(x)/g(x)。

ln|x| 在 x≠0 的两个区间上导数都是 1/x，但它与 ln x 的定义域不同。

1
y=ln x ⇔ x=eʸ
2
1=eʸy′
3
y′=1/x

递进例题

ddx[ln⁡(5 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(5\,x\right)\right]
1x\frac{1}{x}

直接使用 1/x，并保留 x>0。

ddx[ln⁡(x2+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]
2 xx2+1\frac{2\,x}{x^{2} + 1}

外层对数给出倒数，内层二次函数给出 2x。

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

先辨认绝对值对定义域的影响，再在各区间求导。

常见错误

  • • 把 ln x 的导数写成 ln(1/x)。
  • • 对 ln(g(x)) 忘记乘 g′(x)。
  • • 在实数问题中忽略 g(x)>0。
  • • 把 ln|x| 和 ln x 当成具有相同定义域的函数。

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

求导:ln⁡(x2+1)\ln\left(x^{2} + 1\right)
打开无预填内容的计算器: 求导

参考资料

常见问题

log(x) 的导数也是 1/x 吗？+

只有自然对数 ln(x) 是 1/x。以 a 为底的对数导数为 1/(x ln a)。

ln(x²) 的导数是多少？+

在 x≠0 的范围内可写成 2/x；不能因此把原式定义到 x=0。

ln|x| 为什么也得到 1/x？+

在 x>0 与 x<0 两个区间分别求导都会得到 1/x，但 x=0 仍不在定义域。

总结

记住 ln(x) 的导数是 1/x，同时检查输入是否为正。遇到 ln(g(x)) 时，用 g′(x)/g(x) 并保留原定义域。

比较使用方案