多元微积分
偏导数怎么求：固定其他变量的步骤与例题
偏导数回答“只改变一个输入时，函数怎样变化”。计算前先写清楚是对 x、y 还是其他变量求导，然后在这一遍计算中固定剩余变量。
先看结论
对某个变量求偏导时，把其他独立变量暂时视为常数。
该规则适用于多元函数的偏导；如果变量之间存在隐式依赖，则需要使用隐函数求导。
以 f(x,y)=x²y+3y² 为例
求 fₓ 时把 y 看作常数。x²y 的导数是 2xy，而 3y² 不含 x，所以导数为 0。
因此 fₓ=2xy。这里的 y 没有消失，它作为固定系数保留在结果中。
求 fᵧ 时改为固定 x。x²y 的导数是 x²，3y² 的导数是 6y，所以 fᵧ=x²+6y。
两个偏导回答不同方向的问题。写答案时必须保留下标，不能只写一个没有方向的 f′。
1
固定 y：fₓ=2xy
2
固定 x：fᵧ=x²+6y
3
方向不同，结果通常不同
递进例题
对 x 求偏导时，所有只含 y 的项都视为常数。
∂/∂y (sin(xy))
x cos(xy)
混合项 xy 对 x 的偏导为 y，对 y 的偏导为 x。
∂²/∂y∂x (x²y+y³)
二阶偏导要以上一次偏导结果为新的起点。
常见错误
- • 没有先确定求导变量。
- • 把固定变量直接删除，而不是把它当成常数系数。
- • 把独立变量的偏导与隐式相关变量的求导混为一谈。
- • 写二阶偏导时重复从原函数开始，导致阶数错误。
把同一道题带入计算器
每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。
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常见问题
固定 y 是否意味着 y 永远是常数？+
不是。它只是在本次对 x 的偏导计算中暂时保持不变。
偏导数中为什么还会出现其他变量？+
其他变量作为固定参数影响斜率，因此通常会保留在结果中。
混合偏导 fₓᵧ 怎么计算？+
先对 x 求偏导，再对所得结果求 y 的偏导，并检查函数是否满足交换次序所需条件。
总结
求偏导前先标出方向，固定其他独立变量，再逐项求导。固定不等于删除，结果中保留其他变量通常是正确的。
比较使用方案