隐函数求导

隐函数求导怎么做：dy/dx、链式法则与完整步骤

隐函数求导的关键不是先把 y 解出来，而是承认 y 会随 x 变化。凡是对含 y 的表达式求 x 导数，都要通过链式法则带出 dy/dx。

先看结论

把 y 看成 y(x)，对方程两边求导，再收集含 dy/dx 的项并解出它。

适用于没有把 y 单独写出的关系式；分母为 0 或奇异点需要另行分析。

以 x²+y²=25 为例

对等式两边同时关于 x 求导。x² 变为 2x，常数 25 变为 0。

因为 y 是 x 的函数，y² 的导数是 2y·dy/dx，而不是单独的 2y。

得到 2x+2y·dy/dx=0。把 2x 移到右边，再除以 2y，得到 dy/dx=−x/y。

在具体点求斜率前，先确认该点满足原方程；若分母为 0，应检查垂直切线或奇异情况。

1
x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
2
2x+2y · dy/dx=0
3
dydx=−xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{-x}{y}

递进例题

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
y′ = −x/y

每个 y 项求导后都要带上 dy/dx。

xy = 6
y′ = −y/x

xy 需要乘积求导法则，因为 x 和 y 都会变化。

y2=x3+1y^{2} = x^{3} + 1
y′ = 3x²/(2y)

先得到符号表达式，再代入满足原方程的点。

常见错误

  • • 把 y 当成与 x 无关的常数。
  • • 对 y² 求导时漏掉 dy/dx。
  • • 含 xy 的项没有使用乘积求导法则。
  • • 未验证点是否在曲线上就直接代入斜率公式。

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

隐函数求导计算器:x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25隐函数求导计算器:x2+x y+y2=1x^{2} + x\,y + y^{2} = 1
打开无预填内容的计算器: 隐函数求导计算器

参考资料

常见问题

为什么 y 项后面要乘 dy/dx？+

因为 y=y(x)，对 y 的函数关于 x 求导时必须使用链式法则。

可以先把 y 解出来再求导吗？+

有时可以，但可能产生多个分支；隐函数求导通常更直接。

分母为 0 时导数是否一定不存在？+

普通有限斜率公式此时不能直接使用，需要检查垂直切线或奇异点。

总结

隐函数求导时对两边逐项求导，给每个 y 相关项补上链式法则因子，再集中并解出 dy/dx。最后检查点和分母条件。

比较使用方案