微分の基本

べき関数の微分：公式の使い方と例題

べき乗則は、指数を係数として前へ出し、新しい指数を一つ下げる規則です。底が x だけか、別の式かを先に確認すると誤りを防げます。

先に結論

n が定数なら、d/dx(xⁿ)=n · xⁿ⁻¹ です。

指数が固定されている場合に使い、底が合成関数なら内側の導関数も掛けます。

指数を係数にして一つ下げる

x⁵ の微分では 5 を前へ出し、指数を 4 にするので 5x⁴ です。

定数倍はそのまま残ります。3x⁴ の微分は 12x³、定数項の微分は 0 です。

負の指数と分数指数にも同じ規則を使えます。ただし平方根などでは実数の定義域を確認します。

底が g(x) のときは連鎖律を組み合わせ、n[g(x)]ⁿ⁻¹g′(x) とします。

1
xⁿ → n · xⁿ⁻¹
2
a · xⁿ → a · n · xⁿ⁻¹
3
[g(x)]ⁿ → n[g(x)]ⁿ⁻¹g′(x)

例題

ddx[x5]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{5}\right]
5 x45\,x^{4}

指数 5 を係数にし、指数を 4 に下げます。

ddx[x−2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-2}\right]
−2 x−3-2\,x^{-3}

各項を別々に微分し、定数項は 0 にします。

ddx[(x2+1)4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{4}\right]
8 x (x2+1)38\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}

平方根を x¹ᐟ² と書き、定義域も確認します。

よくある間違い

  • • 指数を前へ出したあと指数を一つ下げないこと。
  • • 定数項をそのまま残すこと。
  • • 合成関数の内側の微分を忘れること。
  • • 分数指数の定義域を確認しないこと。

例題を計算機で確認

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

微分:x5x^{5}微分:(x2+1)4\left(x^{2} + 1\right)^{4}
入力例なしで開く: 微分

参考資料

よくある質問

x の微分が 1 になるのはなぜですか？+

x=x¹ と考えると、1·x⁰=1 になります。

x⁰ の微分は何ですか？+

x⁰=1 は定数なので、定義される範囲で導関数は 0 です。

指数に x がある式にも使えますか？+

xˣ のように指数が変数の場合は、この固定指数の公式を直接使えません。

まとめ

指数が固定されていることを確認し、指数を係数にして一つ下げます。底が式なら内側の微分も掛けてください。

利用プランを比較