基础求导
幂函数求导公式怎么用：指数、系数与例题
幂函数求导不是把指数简单移到前面就结束，而是同时完成两步：原指数成为系数，新的指数减一。先认清底数是不是单独的 x，再决定是否需要链式法则。
先看结论
若 n 为常数，则 d/dx(xⁿ)=n · xⁿ⁻¹。
幂函数公式适用于固定指数；遇到复合函数时，还要乘以内层函数的导数。
从 xⁿ 到 n·xⁿ⁻¹ 的计算步骤
对 xⁿ 求导时，把固定指数 n 写到前面，再把指数改为 n−1。例如 x⁵ 的导数是 5x⁴。
常数系数保持在外面。3x⁴ 的导数是 3·4x³=12x³，而常数项的导数为 0。
负指数与分数指数遵循同一规则。例如 x⁻² 的导数是 −2x⁻³；√x=x¹ᐟ²，因此导数是 1/(2√x)，但要注意实数定义域。
若底数是 g(x) 而不是 x，需要再乘 g′(x)。例如 (x²+1)³ 的导数是 3(x²+1)²·2x。
1
xⁿ → n · xⁿ⁻¹
2
a · xⁿ → a · n · xⁿ⁻¹
3
[g(x)]ⁿ → n[g(x)]ⁿ⁻¹g′(x)
递进例题
指数 5 成为系数，指数降为 4。
先保留常数系数，再分别求各项的导数。
平方根先写成分数指数，并保留定义域条件。
常见错误
- • 把指数移到前面后忘记将指数减一。
- • 把常数项原样保留，而不是把它求导为 0。
- • 底数是复合函数时漏乘内层导数。
- • 处理负指数或分数指数时忽略原函数的定义域。
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常见问题
x 的导数为什么是 1？+
把 x 写成 x¹，使用幂函数公式得到 1·x⁰=1。
x⁰ 的导数是多少？+
在有定义的范围内 x⁰=1，是常数，所以导数为 0。
指数里含有 x 还能直接用幂函数公式吗？+
不能直接套固定指数公式。像 xˣ 需要对数求导等方法，必须单独分析。
总结
使用幂函数求导公式时，先确认指数固定，再完成“指数作系数、指数减一”。如果底数不是单独的 x，最后补上内层导数。
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