指数函数求导

eˣ 的导数为什么还是 eˣ：指数函数求导与链式法则

eˣ 的导数仍然是 eˣ，但这不意味着所有指数函数都原样不变。底数换成 a 会多出 ln(a)，指数换成 g(x) 则要再乘 g′(x)。先看底数，再看指数，能避免把这两种情况混在一起。

先看结论

d/dx(eˣ)=eˣ；d/dx[eᵍ⁽ˣ⁾]=eᵍ⁽ˣ⁾g′(x)

实数范围内 aˣ 要求 a>0。复合指数还要求内层函数可导；计算器中的 exp(x) 表示 eˣ。

从导数定义推导 eˣ 的求导公式

利用 eˣ⁺ʰ=eˣeʰ，在差商 [eˣ⁺ʰ−eˣ]/h 中提出 eˣ。

剩下的极限是 (eʰ−1)/h。当 h 趋于 0 时，它等于 1，因此导数为 eˣ。

对 aˣ，先写成 exp(x·ln(a))。当 a 为正常数时，链式法则给出 aˣln(a)。

对 exp(g(x))，保留原来的指数 g(x)，再乘内层导数 g′(x)。例如 exp(4x) 的导数是 4exp(4x)，不是 exp(4)。

eˣ⁺ʰ=eˣeʰ

lim h→0 (eʰ−1)/h=1

d/dx exp(g(x))=exp(g(x))g′(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{x}\right]

e^{x}

底数为 e，导数保持原函数。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{4\,x}\right]

4\,e^{4\,x}

内层 4x 的导数是 4，指数仍为 4x。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[2^{x}\right]

2^x ln(2)

底数不是 e，要保留 ln(2) 因子。

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

e^{x}

e^{4\,x}

exp(x) 和 eˣ 是同一个函数吗？+

是。exp(x) 是以 e 为底的指数函数，本页例题入口使用这个输入写法。

aˣ 的导数是什么？+

对常数 a>0，导数为 aˣln(a)。当 a=e 时 ln(e)=1。

e 的 x² 次方怎么求导？+

保留 eˣ²，再乘 x² 的导数 2x，得到 2xeˣ²。

求 eˣ 的导数时原函数不变。遇到复合指数要乘内层导数，遇到其他正常数底数要乘底数的自然对数。