指数関数の微分

eˣ の微分はなぜ eˣ？指数関数と合成関数の微分

eˣ は微分しても同じ関数になります。ただし、底が変われば ln(a) が、指数が g(x) なら g′(x) が必要です。最初に底と指数を分けて確認しましょう。

先に結論

d/dx eˣ=eˣ; d/dx exp(g(x))=exp(g(x))g′(x)

実数の範囲で aˣ を扱うときは a>0 とします。合成関数では内側の関数も微分可能である必要があります。

eˣ の微分公式を差商から確認する

eˣ⁺ʰ=eˣeʰ を使い、差商 [eˣ⁺ʰ−eˣ]/h から eˣ をくくり出します。

残る (eʰ−1)/h の極限は h→0 で 1 となるため、導関数は eˣ です。

底が正の定数 a のときは aˣ=exp(x ln(a)) と書き、合成関数の微分から aˣln(a) を得ます。

exp(g(x)) では指数 g(x) をそのまま残し、内側の導関数 g′(x) を掛けます。exp(4x) の微分は 4exp(4x) です。

eˣ⁺ʰ=eˣeʰ

lim h→0 (eʰ−1)/h=1

d/dx exp(g(x))=exp(g(x))g′(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{x}\right]

e^{x}

底が e なので元の関数が残ります。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{4\,x}\right]

4\,e^{4\,x}

指数 4x は残し、その導関数 4 を掛けます。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[2^{x}\right]

2^x ln(2)

底が 2 なので ln(2) が必要です。

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

e^{x}

e^{4\,x}

exp(x) と eˣ は同じですか？+

同じ指数関数です。このページの計算例では exp(x) という入力表記を使います。

aˣ の導関数は何ですか？+

a が正の定数なら aˣln(a) です。a=e では ln(e)=1 になります。

eˣ² はどう微分しますか？+

指数 x² を残し、内側の導関数 2x を掛けて 2xeˣ² とします。

eˣ の微分では元の関数を残します。合成関数なら内側の導関数を掛け、底が別の正の定数ならその自然対数を掛けます。