積分法の選択

置換積分と部分積分はどう使い分ける？式の形から判断する方法

積分法は、記号を動かす前に式の構造を見ると選びやすくなります。積が見えるだけで部分積分とは限りません。内側の式があっても、その微分が定数倍を除いて残っていなければ、置換しても単純にはなりません。

先に結論

f(g(x))g′(x) の形なら置換積分、積の一方を微分すると簡単になるなら部分積分を検討します。

これは積分法を選ぶための目安であり、どちらかを使えば必ず初等関数で積分できるという意味ではありません。

判断手順：どの操作で式が簡単になるかを見る

最初に置換積分を検討します。べき、指数、対数、三角関数の内側に g(x) があり、残りの因子が定数倍を除いて g′(x) なら u=g(x) と置けます。∫2x cos(x²) dx では u=x²、du=2x dx とすれば ∫cos(u)du になります。

置換で因子をまとめられない積なら、部分積分を検討します。微分すると簡単になる因子を u、容易に積分できる残りを dv に選びます。∫x exp(x)dx では u=x、dv=exp(x)dx とすると exp(x)(x−1)+C が得られます。

見た目だけで判断しないことが大切です。x sin(x²) は積ですが、x が x² の微分に対応するので置換積分が使えます。一方、x sin(x) には同じ対応がなく、部分積分で ∫cos(x)dx に変える方が自然です。

最後に、得られた原始関数を微分して確認します。CalculusMate の積分機能は決定論的な規則の範囲に限定されているため、数学的に正しい方法でも未対応と表示される場合があります。

合成関数 + 内側の微分 → 置換積分

積 + 微分で簡単になる因子 → 部分積分

結果を微分して検算する

∫ 2x cos(x²) dx

\sin\left(x^{2}\right) + C

du=2x dx が式に含まれるので u=x² と置きます。

∫ x exp(x) dx

e^{x}\,\left(x - 1\right) + C

u=x、dv=exp(x)dx とすると、多項式の因子が微分で消えます。

\int e^{2\,x}\,\mathrm{d}x

\frac{e^{2\,x}}{2} + C

内側が一次式の置換パターンで、現在の計算機が対応しています。

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

リンク先の exp(2x) は対応済みです。上の二つの方法選択例は学習用で、現在の決定論的規則では未対応になる場合があります。

e^{2\,x}

積の形でも置換積分を使えますか？+

使えます。一方の因子が、もう一方に含まれる内側の式の微分になっていれば、置換積分の方が短くなることがあります。

部分積分の u はどう選びますか？+

微分したときに簡単になる因子を優先し、残りが無理なく積分できるかも同時に確認します。

どちらを使っても難しくなる場合は？+

代数変形を見直し、恒等式、部分分数、数値積分など別の方法を検討します。初等関数の原始関数を持たない積分もあります。

内側の微分がそろっていれば置換積分、積の一方が微分で簡単になるなら部分積分です。結果は微分して検算し、計算機の対応範囲と数学上の可否を分けて判断してください。