平方根の微分

√x の微分：公式と定義域、合成関数の例題

√x は x=0 で値を持ちますが、有限な通常の導関数はありません。関数の定義域と導関数の定義域を分け、合成関数では根号の中の式も確認します。

先に結論

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

実数の範囲で √x は x≥0 で定義されますが、この有限な導関数の公式は x>0 で使います。

差商を有理化して √x の微分を求める

x>0 とし、十分小さい h について [√(x+h)−√x]/h を考えます。

分子と分母に √(x+h)+√x を掛けます。分子は h になり、約分すると 1/[√(x+h)+√x] です。

h→0 とすると 1/(2√x) を得ます。x=0 では右側の差商 1/√h が無限に大きくなり、有限な極限を持ちません。

g(x)>0 で g が微分可能なら、√g(x) の導関数は g′(x)/(2√g(x)) です。g(x)=0 の点ではこの公式を直接使わず、元の関数から調べます。

\sqrt{x}=x^{1/2}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{g(x)}=\frac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}

\frac{1}{2\sqrt{x}}

有限な導関数には x>0 が必要です。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x^2+4}

\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

x²+4 は常に正で、内側の導関数は 2x です。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{3x+1}

\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

内側の導関数は 3 です。有限な導関数には 3x+1>0 が必要です。

各リンクから、式・変数・必要な条件が入力された対応計算機を開けます。

\sqrt{x}

\sqrt{x^{2} + 4}

\sqrt{3\,x + 1}

なぜ √x は 0 で通常の導関数を持ちませんか？+

右側の差商 1/√h が h→0 で有限な値に近づかないためです。

根号内が 0 なら合成関数も必ず微分不可能ですか？+

必ずではありません。√(x⁴)=x² は 0 でも微分可能です。分母が 0 になる公式ではなく、元の関数を調べます。

計算機には平方根をどう入力しますか？+

sqrt(x) と入力します。合成関数では sqrt(x^2+4) のように根号内の式全体を括弧に入れます。

√x の導関数は x>0 で 1/(2√x) です。合成関数では内側の導関数を掛け、根号内が 0 の点は別に確認します。