根式求导

根号 x 怎么求导：公式、定义域与复合根式例题

根号 x 在 x=0 时有值，却没有有限的普通导数。求导时要同时写出公式和适用范围；复合根式还需要检查被开方数以及它的导数。

先看结论

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

实数范围内 √x 的定义域是 x≥0，但这个有限导数公式要求 x>0。

用有理化推导根号 x 的导数

从差商 [√(x+h)−√x]/h 出发，在 x>0 的范围内取足够小的 h。

分子分母同乘 √(x+h)+√x，分子变为 h。约去 h 后得到 1/[√(x+h)+√x]。

令 h 趋于 0，得到 1/(2√x)。在 x=0 处，右侧差商为 1/√h，没有有限极限。

当 g(x)>0 且 g 可导时，√g(x) 的导数为 g′(x)/(2√g(x))。若 g(x)=0，不能直接套这个公式，要另查原函数的变化。

\sqrt{x}=x^{1/2}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{g(x)}=\frac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}

\frac{1}{2\sqrt{x}}

有限导数要求 x>0。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x^2+4}

\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

x²+4 始终为正，内层导数为 2x。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{3x+1}

\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

内层导数为 3；有限导数要求 3x+1>0。

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

\sqrt{x}

\sqrt{x^{2} + 4}

\sqrt{3\,x + 1}

为什么根号 x 在 0 处不能按公式求导？+

右侧差商 1/√h 随 h 趋于 0 无界增大，不存在有限导数。

被开方数为 0 时，复合根式一定不可导吗？+

不一定。例如 √(x⁴)=x² 在 0 处可导。通用公式在分母为 0 时不适用，要回到原函数判断。

计算器里如何输入根号？+

使用 sqrt(x)。复合根式要把整个被开方数放在括号里，例如 sqrt(x^2+4)。

根号 x 的导数是 1/(2√x)，适用于 x>0。复合根式先保留根号，再乘内层导数，并单独检查被开方数为 0 的点。