求导方法

商的求导法则怎么用：分子分母求导步骤与例题

商的求导法则最常见的错误不是求导本身，而是减号顺序和分母平方。先固定书写顺序“上导下不导，减去上不导下导”，最后把原分母整体平方。

先看结论

若 y=u/v 且 v≠0，则 y′=(u′v−uv′)/v²。

当最外层结构是两个依赖 x 的函数相除，而且不适合先化简时使用商的求导法则。

按固定顺序写出商的求导法则

先把分子记为 u，分母记为 v，并注明 v≠0。不要在还没分清分子分母时直接套公式。

分子的第一项是 u′v，第二项是 uv′，两项之间使用减号，顺序不能交换。

整个分子除以 v²。这里平方的是原来的完整分母，而不是分母的导数。

完成公式后再化简。过早展开或约分容易丢失括号，也可能掩盖原函数不能取值的点。

1
y=uvy = \frac{u}{v}
2
y′=(u′v−uv′)/v²
3
先代入，再化简并保留 v≠0

递进例题

ddx[x2+1x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x^{2} + 1}{x}\right]
1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

按 u′v−uv′ 的顺序书写，最后统一化简。

ddx[sin⁡xx]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sin x}{x}\right]
[x cos(x)−sin(x)]/x²

三角函数的导数进入分子第二项，分母整体平方。

ddx[xx+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{x}{x + 1}\right]
1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}

若能先约分，仍需保留原式的定义域限制。

常见错误

  • • 把分子写成 uv′−u′v，导致整体符号相反。
  • • 分母只写 v，而没有平方。
  • • 把分母写成 (v′)²。
  • • 化简后忘记原函数分母不能为 0 的限制。

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

求导:sin⁡xx\frac{\sin x}{x}求导:xx+1\frac{x}{x + 1}
打开无预填内容的计算器: 求导

参考资料

常见问题

所有分式都必须使用商的求导法则吗？+

不一定。能安全写成负指数或先约分的表达式，有时用幂函数法则更简洁。

为什么商的求导法则中间是减号？+

分母变化会使倒数朝相反方向变化，因此组合时产生减项。

求导后可以约分吗？+

可以，但只能约去真正的公因子，并且必须保留原式的定义域。

总结

使用商的求导法则时先确定 u 和 v，严格保持 u′v−uv′ 的顺序，并把原分母整体平方。化简不能删除原式的定义域条件。

比较使用方案