极限基础
单侧极限怎么看：左极限、右极限与图像判断
单侧极限关注的是靠近某一点的方向，而不是在该点代入。先读清楚上标中的加号或减号，再选择对应区间的公式或图像分支。
先看结论
x→a⁻ 表示从小于 a 的一侧接近，x→a⁺ 表示从大于 a 的一侧接近。
双侧极限存在需要左右极限相等；函数在 a 点的取值可以与极限不同或不存在。
分别计算左右方向，再判断是否合并
左极限 lim x→a⁻ f(x) 只使用 x<a 且接近 a 的值；右极限只使用 x>a 的值。
对分段函数，应分别选取 a 左侧和右侧的表达式。不要用 f(a) 代替附近的趋势。
若左右极限得到同一个有限值或同向无穷趋势，才能讨论相应双侧极限；两侧不一致时双侧极限不存在。
图像上的实心点表示函数值，开圆点常表示趋近位置。判断极限时首先观察曲线靠近的位置。
1
x→a⁻：从左侧接近
2
x→a⁺：从右侧接近
3
左右相等才有双侧极限
递进例题
lim x→0+ 1/x
只读取指定方向上的函数值变化。
lim x→0− 1/x
−∞
分段函数要根据接近方向选择公式。
lim x→0 |x|/x
Does not exist
左右无穷的符号不同，不能合并为同一个双侧极限。
常见错误
- • 把上标减号理解成函数值为负。
- • 直接代入 f(a) 作为极限。
- • 只计算一侧就宣布双侧极限存在。
- • 忽略 +∞ 与 −∞ 的方向差异。
把同一道题带入计算器
每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。
打开无预填内容的计算器: 极限参考资料
常见问题
左极限中的减号是什么意思？+
表示 x 从小于目标值的一侧接近，不表示极限答案必然为负。
函数在该点没有定义，极限还能存在吗？+
可以，只要附近两侧趋向同一个值。
左右极限不同怎么办？+
应分别报告两个单侧极限，并说明双侧极限不存在。
总结
读取单侧极限时先确定方向，再使用对应分支。只有左右极限一致，才能把它们合并成双侧极限。
比较使用方案