定积分
定积分为什么不等于图形总面积：符号与分段方法
“曲线下的面积”容易让人误以为定积分永远为正。实际上，x 轴下方的部分在定积分中带负号，可能抵消上方区域。
先看结论
定积分计算带符号的净面积；总面积要把 x 轴上下的各部分都按正值相加。
函数在区间内改变符号时，总面积必须在零点处分段，或计算 |f(x)| 的积分。
比较 f(x)=x 在 [−1,1] 上的两种面积
在 [−1,0] 上，x 为负；在 [0,1] 上，x 为正。两个三角形大小相等、符号相反。
因此 ∫₋₁¹x dx=0。这表示净变化为 0，并不表示图形没有面积。
总面积要在 x=0 处分段，把左侧负值改为正贡献，得到 1/2+1/2=1。
更复杂的题目应先找零点和不连续点，再建立符号表，确定每一段是否需要改变符号。
1
∫₋₁¹x dx=0
2
左右区域大小相等、符号相反
3
总面积=1
递进例题
∫₋₁¹ x dx
奇函数在对称区间上的净积分可能为 0。
Total area between y=x and the axis on [−1,1]
总面积需要按符号变化点分段。
0 net area; 1 total area
速度积分给位移，速率积分给总路程。
常见错误
- • 看到定积分结果为 0 就认为没有图形面积。
- • 只对最后结果取绝对值，而不在符号变化处分段。
- • 只找零点，没有检查区间内的不连续点。
- • 混淆位移与总路程。
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常见问题
定积分可以是负数吗？+
可以，x 轴下方的带符号贡献更大时结果为负。
总面积是否就是 ∫|f(x)|dx？+
对区间内可积函数与 x 轴围成的总面积，可以这样表示；计算时通常按符号分段。
为什么必须先找零点？+
零点是函数可能改变符号的位置，决定总面积在哪里分段。
总结
定积分默认表示带符号净量。题目要求总面积时，先检查零点和不连续点，再分段累计每块区域的正面积。
比较使用方案