Ecuaciones en x e y · Despeja dy/dx

Calculadora de derivación implícita

Introduce una ecuación con x e y. Deriva ambos lados, trata y como función de x y despeja dy/dx mediante una identidad determinista de derivadas parciales.

Interpretación de ecuacionesdy/dx visible en los pasosSin respuesta generada por IA

Espacio especializado

Derivación implícita

Motor

Usa ^ para las potencias y paréntesis para las funciones. Puedes introducir sec(x) y arctan(x) directamente; los ángulos se expresan en radianes.

Ayuda de entrada y métodos admitidos

Mantén visible la pregunta original. Confirma la variable y la vista previa antes de calcular. Usa ^(1/2) para una raíz cuadrada y paréntesis explícitos en los argumentos de las funciones.

Introduce ambos lados de la ecuación con un solo signo igual. Elige variables independiente y dependiente distintas. Nunca se inventa un lado derecho que falte.

Leer el método

Probar un ejemplo

Vista previa en tiempo real

Si y ya está escrita explícitamente como y=f(x), usa la calculadora ordinaria de derivadas. Esta página trata ecuaciones donde x e y están relacionadas implícitamente. Todas las herramientas de derivadas

Deriva una relación

¿Qué es la derivación implícita?

La derivación implícita obtiene una derivada cuando y se define mediante una ecuación, en vez de estar despejada como y=f(x). Cada término con y debe reflejar su dependencia de x.

Por qué aparece dy/dx junto a y

En x²+y²=25, y varía con x a lo largo de la circunferencia. Por la regla de la cadena, derivar y² da 2y·dy/dx, no simplemente 2y.

La ecuación derivada es 2x+2y·dy/dx=0. Al trasladar 2x y dividir entre 2y, obtienes dy/dx=−x/y donde y no sea cero.

Organiza el cálculo con derivadas parciales

Escribe la ecuación como F(x,y)=0. Su derivada total es Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0, así que dy/dx=−Fₓ/Fᵧ cuando el denominador no es cero.

La calculadora interpreta ambos lados, forma una relación, calcula las dos derivadas parciales con el motor determinista y muestra su cociente negativo.

Productos con x e y

Para x²+xy+y²=1, la regla del producto transforma xy en y+x·dy/dx. Los demás términos derivados son 2x y 2y·dy/dx.

Al agrupar los términos con derivadas, obtienes (x+2y)dy/dx=−(2x+y), de modo que la pendiente es −(2x+y)/(x+2y).

Interpreta una derivada no definida

Si Fᵧ es cero, dy/dx puede no estar definida, puede haber una tangente vertical o el punto puede ser singular. Un denominador cero aporta información matemática.

Comprueba que cualquier punto sustituido en la derivada también satisfaga la ecuación original. La fórmula simbólica de la pendiente solo vale a lo largo de esa relación.

Un método fiable para obtener dy/dx implícitamente

Empieza comprobando que has introducido una ecuación, no una expresión aislada. Una relación implícita como x²+y²=25 describe muchos pares ordenados a la vez. Aunque y no esté escrita como y(x), cambia al mover x por la curva. Esta dependencia explica que las derivadas de los términos con y incorporen dy/dx. Las constantes, como 25 o r² cuando r es fijo, se derivan a cero. Deriva cada término de ambos lados respecto de x. Los términos solo con x siguen las reglas habituales. Los términos solo con y necesitan la regla de la cadena: d/dx(y²)=2y·dy/dx y d/dx(sin y)=cos(y)·dy/dx. Un término mixto como xy necesita la regla del producto porque ambos factores pueden variar a lo largo de la curva. Su derivada es y+x·dy/dx. Escribir el indicador de derivada junto a cada término afectado con y evita el error más común: tratar y como constante. Después de derivar, agrupa en un lado todos los términos con dy/dx. Pasa los demás al otro lado, saca dy/dx como factor y divide. Para x²+xy+y²=1, la derivación da 2x+y+x·dy/dx+2y·dy/dx=0. Al agrupar, obtienes (x+2y)dy/dx=−(2x+y), y al dividir, dy/dx=−(2x+y)/(x+2y). Es el mismo resultado que da la identidad compacta dy/dx=−Fₓ/Fᵧ tras escribir la ecuación como F(x,y)=0. La identidad de derivadas parciales simplifica el cálculo, pero no elimina la regla de la cadena subyacente. Fₓ mide el cambio de la relación al variar x manteniendo y constante; Fᵧ mide el cambio en la dirección y. A lo largo de la curva, esos cambios deben compensarse, lo que lleva a Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0. CalculusMate muestra la relación, las dos derivadas parciales y su cociente negativo para que puedas revisar el razonamiento. Una derivada simbólica no es automáticamente una pendiente numérica. Para obtener la pendiente en un punto, comprueba primero que satisface la ecuación original y sustituye después ambas coordenadas en dy/dx. En la circunferencia x²+y²=25, la pendiente en (3,4) es −3/4. Un punto que no esté en la circunferencia no tiene sentido para esa curva, aunque puedas introducirlo en la fórmula. Si el denominador es cero, investiga una tangente vertical o un punto singular en vez de informar de una pendiente finita ordinaria. Algunas relaciones tienen varias ramas. Despejar una circunferencia da una rama superior y otra inferior, pero la derivación implícita trata ambas con una sola fórmula. Las coordenadas determinan el signo. Por eso resulta útil: evita álgebra innecesaria y funciona incluso si despejar y es difícil. Aun así, el método supone que la relación es derivable cerca del punto y que el denominador usado para despejar dy/dx no es cero. Para presentar los pasos con claridad, conserva la ecuación original, muestra la derivada de cada lado, marca cada factor dy/dx de la regla de la cadena, agrúpalos y solo entonces simplifica. La página sigue ese orden. Admite una ecuación compatible y devuelve una pendiente simbólica determinista; no resuelve en silencio curvas singulares ni inventa una rama cuando hace falta más análisis.

Comprueba la curva además del álgebra

Practica eligiendo un punto de cada relación y comprobando allí la pendiente. En una circunferencia, compara puntos opuestos para observar los signos. Para xy=c, la derivada −y/x coincide con la pendiente de y=c/x donde x no sea cero. Estas comparaciones relacionan el método implícito con funciones explícitas conocidas sin tener que despejar y cada vez. Al revisar, cuenta las apariciones originales de y y comprueba que cada derivación produjo un factor dy/dx, incluida la y dentro de productos o funciones. Comprueba después que se agruparon todos esos factores antes de dividir. Si el punto pedido anula el denominador, vuelve a la curva original y analiza su geometría local. La calculadora puede señalar la condición, pero distinguir una tangente vertical, una cúspide o una intersección singular requiere considerar juntos la ecuación y el punto.

Ecuaciones que puedes probar

Observa las derivadas que antes estaban ocultas

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25

La circunferencia da dy/dx=−x/y donde y no sea cero.

x²+xy+y²=1

El producto xy necesita la regla del producto antes de agrupar los términos dy/dx.

xy=6

Deriva el producto para obtener y+x·dy/dx=0 y despeja dy/dx=−y/x.

Alcance de las ecuaciones admitidas

Introduce exactamente una ecuación con operaciones y funciones admitidas. El motor devuelve una derivada simbólica; no despeja y en la curva original ni clasifica puntos singulares.

FAQ
¿Cómo introduzco una ecuación implícita?+

Introduce una ecuación, como x^2+y^2=25. Usa ^ para potencias y * cuando la multiplicación pueda resultar ambigua.

¿Por qué se trata y como función de x?+

A lo largo de la curva, variar x suele cambiar y. La regla de la cadena representa esa dependencia con dy/dx.

¿Puede obtener una pendiente en un punto?+

Devuelve dy/dx simbólicamente. Sustituye un punto válido de la ecuación original para obtener una pendiente numérica.

¿Qué ocurre si el denominador es cero?+

La pendiente puede no estar definida o la curva puede tener una tangente vertical o un punto singular.

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