Calculadora de derivadas parciales respecto de x e y

Una función de varias variables puede cambiar en varias direcciones independientes. La notación ∂f/∂x pregunta algo preciso: ¿cómo cambia f al variar x mientras todas las demás variables independientes se mantienen fijas? Para ∂f/∂y, se invierten los papeles. Esta instrucción distingue una derivada parcial de una derivada ordinaria de una variable, aunque las reglas algebraicas resulten familiares. Antes de derivar, marca la variable indicada en el operador. Trata cualquier otro símbolo independiente como un coeficiente constante. Para f(x,y)=x²y+y³, derivar respecto de x convierte x²y en 2xy porque y está fija, mientras y³ pasa a cero. Derivar respecto de y convierte x²y en x² y y³ en 3y². Ambas respuestas son correctas y distintas porque miden cambios en direcciones diferentes sobre la misma superficie. Se siguen aplicando las reglas del producto y de la cadena. Para f=sin(xy), la expresión interior es xy. Respecto de x, y es constante, la derivada interior es y y el resultado es y cos(xy). Respecto de y, la derivada interior es x y el resultado es x cos(xy). Para exp(x²+y²), la parcial respecto de x es 2x exp(x²+y²) y la de y es 2y exp(x²+y²). Conservar visible la expresión interior sin modificar es una comprobación útil. La notación de orden superior registra direcciones repetidas. ∂²f/∂x² significa derivar dos veces respecto de x. Una parcial mixta como ∂²f/∂y∂x aplica las operaciones en el orden indicado. Aquí, las parciales repetidas de una variable se eligen con el control de orden. Para una mixta, calcula la primera parcial, copia su resultado, cambia de variable y vuelve a calcular. Este procedimiento en dos pasadas deja explícito el orden y reduce errores de notación. Geométricamente, z=f(x,y) es una superficie. Fijar y da una curva obtenida al cortar la superficie en dirección x, y ∂f/∂x es la pendiente de esa curva. Fijar x da la sección perpendicular en dirección y. En un punto, estas dos pendientes son las componentes usadas para construir el gradiente. Por sí solas no describen todas las derivadas direccionales, pero son la base de la optimización, los planos tangentes y los modelos de varias variables. Las unidades importan. Si f es temperatura y x es distancia, ∂f/∂x mide el cambio de temperatura por unidad de distancia manteniendo fijas las demás coordenadas. Si f es un coste que depende de cantidad y tiempo, la parcial elegida describe un efecto marginal bajo la hipótesis de mantener la otra variable fija. Conserva estas hipótesis al interpretar el resultado: una expresión simbólica no determina si las variables son realmente independientes en el sistema real. Comprueba que desaparezcan todos los términos que solo contienen variables inactivas y que los símbolos inactivos permanezcan como constantes cuando multiplican términos activos. Si la función original es simétrica, también puedes comparar los resultados de x e y por simetría. CalculusMate usa el mismo árbol determinista que la calculadora ordinaria, con el símbolo elegido determinando qué varía. Usa la derivación implícita cuando x e y estén relacionadas por una ecuación y y deba variar con x en vez de mantenerse fija.