選擇微分變數
對於 f=x²y+y³，求 ∂f/∂x 時把 y 視為常數。第一項變為 2xy，y³ 變為零，所以結果是 2xy。
求 ∂f/∂y 時把 x 視為常數，同一表示式變為 x²+3y²。請輸入完整表示式，並選擇偏導符號中指定的變數。
多元微積分 · 選擇變化的變數
關於 x 與 y 的偏導數計算機
計算一階或高階偏導數。選擇 x 或 y 作為活動變數，並看清其餘符號為何被視為常量。
支援 x 和 y支援一至五階結果由規則推導
抽象函數，方法先行
f(x)g(y) 應該怎樣求偏導？
先確定微分變數。對 x 求偏導時，g(y) 保持不變；對 y 求偏導時，f(x) 保持不變。
以上公式用於說明方法。計算機接受受支援的顯式表示式，不會假裝理解尚未定義的 f、g 等任意函數。
∂/∂x [f(x)g(y)] = f′(x)g(y)
∂/∂y [f(x)g(y)] = f(x)g′(y)
要實際計算同一種關係，可以使用 sin(x)·exp(y)。對 x 求偏導時，只對 sin(x) 微分，並保留 exp(y)。
開啟可計算的對應例題如果函數只有一個變數，請使用普通微分計算機。本頁專門處理多變數函數的偏導數。 全部導數工具
每次只看一個方向
偏導數與普通導數有什麼不同
偏導數表示只沿選定方向變化、其餘獨立變數保持不變時的變化率，仍然使用熟悉的微分規則。
繼續使用普通微分規則
冪、乘積、商和連鎖律仍然有效。對於 sin(xy)，對 x 求偏導得到 y·cos(xy)。
對 y 求偏導時，sin(xy) 變為 x·cos(xy)。對比兩個結果，可以快速檢查微分變數是否選對。
高階偏導數與混合偏導數
二階偏導 ∂²f/∂x² 表示連續兩次對 x 微分。階數控制元件支援對選定變數重複微分。
計算混合偏導時，可先算一次並複製結果，再切換變數繼續計算，讓運算順序保持清晰。
理解曲面上的偏導數
對於 z=f(x,y)，∂f/∂x 是保持 y 不變時沿 x 方向截線的斜率；對 y 的偏導則描述與之垂直的方向。
在實際應用中，應保留原始單位以及被固定變數的含義。符號結果不能替代對模型的實際解釋。
怎樣計算並理解偏導數
多變數函數可以沿多個獨立方向變化。記號 ∂f/∂x 問的是：當 x 變化、其他獨立變數保持不變時，f 怎樣變化？對於 ∂f/∂y，變數角色相反。正是這個條件讓偏導數區別於普通的一元導數，雖然它們使用相似的代數規則。
微分前先確認運算元中指定的變數，把其他獨立符號當作常數係數。對於 f(x,y)=x²y+y³，對 x 求偏導時，x²y 變成 2xy，而 y³ 變成零；對 y 求偏導時，結果是 x²+3y²。兩個答案都正確，因為它們描述同一曲面上不同方向的變化。
乘積微分法則和連鎖律仍然適用。對於 f=sin(xy)，對 x 求偏導時 y 是常數，內層導數為 y，結果是 y cos(xy)；對 y 求偏導則得到 x cos(xy)。對於 exp(x²+y²)，對 x 和 y 的偏導分別是 2x exp(x²+y²) 與 2y exp(x²+y²)。保留未改變的內層表示式有助於檢查。
高階記號紀錄重複微分的方向。∂²f/∂x² 表示連續兩次對 x 微分；∂²f/∂y∂x 這樣的混合偏導按記號順序執行。本頁面的階數控制元件可對一個選定變數重複微分。計算混合偏導時，可先計算第一次並複製結果，再切換變數完成第二次，使順序保持明確。
從幾何上看，z=f(x,y) 是一個曲面。固定 y 會得到沿 x 方向的截線，∂f/∂x 就是這條曲線的斜率；固定 x 則得到垂直方向的截線。在一點處，這兩個斜率可以組成梯度的分量，是研究方向導數、最佳化和切平面的基礎。
實際應用中還要關注單位。若 f 表示溫度、x 表示距離，則 ∂f/∂x 是其他座標不變時每單位距離的溫度變化。若 f 表示受數量和時間影響的成本，選定偏導數描述的是特定“其他條件不變”假設下的邊際變化。符號表示式本身無法判斷現實變數是否真的相互獨立。
檢查結果時，確認只含非活動變數的項是否消失，以及非活動符號作為係數時是否被保留。原函數具有對稱性時，還可以比較對 x 和 y 的結果。CalculusMate 使用與普通微分相同的確定性規則樹，由你選定的符號決定哪個量發生變化。若 x 與 y 由方程關聯、y 必須隨 x 變化，請改用隱函數微分計算機。
透過切換變數建立直覺
對同一個表示式計算兩次：先選擇 x 並紀錄結果，再選擇 y 進行比較。標出哪些項因只含非活動變數而消失，哪些項保留非活動變數作為係數，以及哪些項需要乘積或連鎖律。計算高階導數時，每一遍都先寫出運算元，避免重複錯方向。光滑函數的混合偏導常常相等，但這個結論有適用條件，不能對所有公式機械套用。在選定點處計算兩個一階偏導數，並解釋沿兩個座標截線的正、負或零斜率意味著什麼，這能把符號運算連線到梯度、切平面、最佳化和變化率模型。
比較 x 與 y 兩個方向
同一個表示式，不同方向的偏導數
f=x²y+y³，對 x 求偏導
保持 y 不變，可得 ∂f/∂x=2xy。
f=x²y+y³，對 y 求偏導
保持 x 不變，可得 ∂f/∂y=x²+3y²。
f=sin(xy)
連鎖律給出：對 x 求偏導為 y·cos(xy)，對 y 求偏導為 x·cos(xy)。
目前支援的偏導數範圍
工具支援對一個選定變數求受支援表示式的偏導。變數由方程關聯時請使用隱函數微分頁。計算混合偏導時，可在結果卡繼續選擇 x 或 y，頁面會保留上一步偏導及其過程。
FAQ
什麼是一階偏導數？+
它表示對一個變數微分，同時把其他獨立變數保持為常數。
怎樣計算 ∂f/∂y？+
把變數欄位設為 y，此時 x 等其他符號會被視為常數。
可以計算高階偏導數嗎？+
可以。對於受支援的表示式，可以對選定變數連續計算一至五階偏導數。
這和隱函數微分一樣嗎？+
不一樣。偏導數把其他獨立變數保持不變；隱函數微分則追蹤由方程關聯的因變數。