微分方法

如何求偏導數：步驟與例題

偏微分就是一般微分，加上一個必須仔細決定的條件：哪個獨立變數正在改變？計算過程中，其餘獨立變數全部視為常數。

先看結論

選定一個變數，將其他獨立變數視為常數。

偏導數描述一個獨立方向上的變化，其他獨立變數則保持固定。

先確認微分任務，再進行代數運算

只看符號，無法決定應算哪個導數。先確認微分變數，再判斷其他變數是獨立座標，還是該變數的函數。

先確認 1

題目要求 ∂/∂x 還是 ∂/∂y？

接下來怎麼做

將指定符號標記為微分變數，其他獨立座標保持固定。

先確認 2

方程式明示或暗示 y=y(x) 嗎？

接下來怎麼做

使用一般或隱函數微分，不要把 y 當成獨立常數。

先確認 3

題目要求混合偏導數或二階偏導數嗎？

接下來怎麼做

先算指定的一階偏導數，再沿題目所述的第二個方向微分。

完整例題：f(x,y)=x²y+y³

對 ∂f/∂x，x 改變、y 固定。x²y 的導數為 2xy，而 y³ 微分後為零，因此 ∂f/∂x=2xy。

對 ∂f/∂y，y 改變、x 固定。此時 x²y 微分後為 x²，y³ 為 3y²，因此 ∂f/∂y=x²+3y²。

這與隱函數微分不同：此處 x 與 y 是獨立座標。若方程式使 y 依賴 x，對含 y 的項微分時就會出現 dy/dx。

1
f(x,y) = x²y + y³
2
∂f/∂x = 2xy + 0 = 2xy
3
∂f/∂y = x² + 3y²

解題範例

∂∂x[x3 y2]\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{3}\,y^{2}\right]
3 x2 y23\,x^{2}\,y^{2}

將 y² 視為常數係數。

∂/∂y (sin(xy))
x cos(xy)

xy 對 y 的內層導數為 x。

∂²/∂y∂x (x²y+y³)
2 x2\,x

對支援範圍內的光滑多項式，沿指定方向再次對一階偏導數微分。

常見錯誤

  • • 沒有選定微分變數，就同時對所有變數微分。
  • • 把依賴 x 的 y=y(x) 當成獨立常數；這應是隱函數微分問題。
  • • 未檢查該點附近的光滑條件，就認定混合偏導數一定相等。

錯誤診斷：固定不代表刪除

錯誤嘗試

∂∂x[x2 y+y3]=2 x+3 y2\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{2}\,y + y^{3}\right] = 2\,x + 3\,y^{2}

錯在哪裡

x 才是微分變數，卻對 y 做了微分，並且漏掉 x²y 中固定的係數 y。

正確處理

∂/∂x (x²y+y³) = 2xy

錯誤嘗試

∂/∂y sin(xy) = cos(xy)

錯在哪裡

xy 對 y 的內層導數為 x，不是 1。

正確處理

∂/∂y sin(xy) = x cos(xy)

自己換個微分變數

微分前，在每題旁標出「改變」與「固定」的變數。兩題使用相同方法，但會保留不同的符號。

∂∂x[x3 y+5 y2]\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{3}\,y + 5\,y^{2}\right]

作答前檢查

固定 y，判斷哪一項微分後為零。

查看參考答案

參考答案

3 x2 y3\,x^{2}\,y
∂/∂y sin(xy)

作答前檢查

對 y 微分時，保留內層導數 x。

查看參考答案

參考答案

x cos(xy)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

偏導數計算機:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}偏導數計算機:x2 y+y3x^{2}\,y + y^{3}
開啟未填入範例的計算機: 偏導數計算機

參考資料

常見問題

固定 y 就是設 y=0 嗎？+

不是。在比較過程中，y 的值保持固定，因此在仍隨 x 改變的項中，可以作為係數保留。

偏導數與隱函數微分有什麼不同？+

偏導數讓一個獨立座標改變。隱函數微分則因方程式將變數連在一起，把 y 等變數視為 x 的函數。

可以做兩次偏微分嗎？+

可以。沿指定方向再次對一階偏導數微分，並確認所需導數在該點附近存在。

重點整理

先選定微分變數，說明哪些變數固定，再依此處理每一項。這個判斷能區分偏微分與幾種外觀相近的任務。

比較使用方案