帶詳細步驟的連鎖律計算機

先從外向內閱讀表示式。想一想：如果把一個數代入函數，最後執行的是什麼運算？這一步就是最外層。在 (x²+1)³ 中，要先平方、加一，最後取三次方，所以三次方在外層；在 sin(x²) 中，正弦作用於已經完成的平方結果。這個閱讀方法比尋找記憶中的固定形狀更可靠，也適用於根式、對數、指數以及多層巢狀。 接著把內層表示式暫記為 u。代換在代數上並非必需，卻能把學生容易混在一起的兩項工作分開：先對 u 求外層函數的導數，再乘以 du/dx。對於 y=(x²+1)³，可寫成 y=u³、u=x²+1，於是 dy/du=3u²、du/dx=2x，還原 u 後得到 6x(x²+1)²。清晰的連鎖律計算機應展示這兩個因子，讓每一部分的來源都可見。 遇到更長的複合函數，要在每一層重複同樣的判斷。若 y=sin((x²+1)³)，導數包含來自正弦的餘弦因子、來自三次方的 3(x²+1)²，以及來自二次式的 2x。從外向內可寫為 cos((x²+1)³)·3(x²+1)²·2x。常數可以隨後化簡，但先保留結構更容易發現遺漏的層。相同邏輯也能解釋 d/dx exp(sin x)=exp(sin x)·cos x，以及 d/dx log(1+x²)=2x/(1+x²)。 不要把複合關係和乘法混淆。sin(x²) 是複合函數，因為 x² 是正弦函數的輸入；x²sin(x) 是乘積，因為兩個因子相乘。一道題也可能同時需要兩種規則：對 x²sin(x³) 微分時，最外層先用乘積微分法則，而第二項中的 sin(x³) 再用連鎖律。商的內部也可能含有複合函數。應先辨識最外層結構，再為每個巢狀部分選擇合適規則。 快速檢查時，可以在化簡前確認預期因子。外層導數中應保留原來的內層表示式，並且每個非平凡內層都應貢獻一個導數因子。也可以在正常點附近比較數值斜率，觀察符號和數量級是否與符號導數一致。數值檢查不能證明恆等式，但能發現許多符號錯誤和遺漏的內層導數。CalculusMate 對受支援的輸入使用確定性符號規則，遇到規則外結構會明確提示，而不是用生成文字填補。 書寫最終解答時，可以依次保留四行：定義 u、寫出連鎖律、分別求兩個導數、代回並化簡。這樣的格式既適合作業，也便於檢查。頁面上的動態步驟遵循相同順序，目的是幫助你理解 dy/dx 中每個因子的來源，而不是只提供可抄寫的結果。