微分方法

如何使用乘積法則而不漏項

乘積的導數不是導數相乘。每個正確項都只對一個因子微分，另一個保持原樣。

先看結論

(fg)′ = f′g + fg′

兩個因子都可能依賴 x；真正的常數因子則可以提出。

什麼時候使用乘積法則？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

最外層運算是相乘，且因子依賴 x 時，使用乘積法則。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

兩個因子都可能依賴 x；真正的常數因子則可以提出。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

每個變動因子應各有一個導數項，且不能在同一項中同時對所有因子微分。

加上再減去交叉項

從乘積的差商開始。

加上再減去 f(x+h)g(x)，並拆成兩個商。

利用連續性及兩個導數極限，得到 f′g+fg′。

需要時，在各因子內使用連鎖律。

1
(fg)′=f′g+fg′
2
[x²sin(x)]'=2x sin(x)+x²cos(x)
3
每一項只微分一個因子

解題範例

ddx[x2 sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]
2x sin(x)+x²cos(x)

每個變動因子各貢獻一項。

d/dx [x exp(x)]
ex (x+1)e^{x}\,\left(x + 1\right)

套用法則後，再提出 exp(x)。

ddx[(x2+1) cos⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]
2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

第二個因子還需要連鎖律。

常見錯誤

  • • 使用 f′g′。
  • • 只寫出一項。
  • • 在同一項中同時微分兩個因子。
  • • 漏掉內層連鎖律。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[x²sin(x)]'=2x cos(x)

錯在哪裡

把兩因子的導數相乘，漏掉乘積法則的兩項。

正確處理

2x sin(x)+x²cos(x)

錯誤嘗試

[x exp(x)]'=exp(x)

錯在哪裡

只對 x 做了微分。

正確處理

exp(x)+x exp(x)

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

d/dx [x exp(x)]

作答前檢查

套用法則後，再提出 exp(x)。

查看參考答案

參考答案

ex (x+1)e^{x}\,\left(x + 1\right)
ddx[(x2+1) cos⁡(3 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(x^{2} + 1\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]

作答前檢查

第二個因子還需要連鎖律。

查看參考答案

參考答案

2x cos(3x)−3(x²+1)sin(3x)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:x2 sin⁡xx^{2}\,\sin x微分:x exx\,e^{x}
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

f′g′ 為什麼不對？+

乘積的微小變化有兩個一階貢獻；兩因子同時變化的部分是二階。

有三個因子時呢？+

每次對一個因子微分，另外兩個保留，總共得到三項。

應該先展開嗎？+

只有展開確實使導數更簡單，且保留定義域時才需要。

重點整理

每個變動因子各寫一項，保留其餘因子，並在各項內使用適當的內層法則。

比較使用方案