選擇微分法則

連鎖律與乘積法則：如何區分

這兩種法則常被混淆，因為兩種表示式都可能看起來很複雜。可靠的判斷是看結構：一個函數是接收另一個函數作為輸入，還是兩個變動因子相乘？

先看結論

f(g(x)) 使用連鎖律，f(x)g(x) 使用乘積法則；相乘的因子內有複合函數時，兩者都要用。

微分前先辨認最外層運算：函數以另一函數為輸入是複合；明確的乘積則連結獨立因子。

選擇方法：檢查最外層運算

sin(x^2) 中，x^2 在正弦函數內部。這是複合，應對正弦微分，再乘上 x^2 的導數。

x^2 sin(x) 中，x^2 與 sin(x) 兩因子相乘。這是乘積，每次對一個因子微分，另一個保留。

x^2 sin(x^3) 先使用乘積法則。第二個因子微分時，因 x^3 在正弦內部，還須使用連鎖律。

只有括號，不能決定要用哪個法則。要看表示式中最大的幾塊，是用什麼運算連接。

1
巢狀：f(g(x)) -> 連鎖律
2
相乘：f(x)g(x) -> 乘積法則
3
乘積含巢狀因子 -> 兩種法則都用

解題範例

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x^2)

一個函數在另一個內部，因此使用連鎖律。

ddx[x2 sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]
2x sin(x)+x^2 cos(x)

兩個變動因子相乘，因此使用乘積法則。

ddx[x2 sin⁡(x3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin\left(x^{3}\right)\right]
2x sin(x^3)+3x^4 cos(x^3)

最外層是乘積；正弦因子內還須使用連鎖律。

常見錯誤

  • • 只因看到兩個表示式，就對 sin(x^2) 使用乘積法則。
  • • 對 x^2 sin(x) 只用連鎖律，忽略乘積。
  • • 乘積法則正確，但漏掉 sin(x^3) 的內層導數。
  • • 未辨認最外層結構，就先展開表示式。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

連鎖律計算機:sin⁡(x2)\sin\left(x^{2}\right)連鎖律計算機:x2 sin⁡(x3)x^{2}\,\sin\left(x^{3}\right)
開啟未填入範例的計算機: 連鎖律計算機

參考資料

常見問題

同一題可以需要兩種法則嗎？+

可以。最外層使用乘積法則，再在複合因子內使用連鎖律。

有括號就一定使用連鎖律嗎？+

不一定。括號也可以用來分組和或乘積。連鎖律要求一個函數以另一個函數為輸入。

應該先用哪個法則？+

先使用對應最外層運算的法則，再用各自適用的法則處理巢狀部分。

重點整理

依結構選法則，不依外觀複雜度。巢狀函數用連鎖律，相乘因子用乘積法則，有些表示式需要依此順序同時使用兩者。

比較使用方案