Elegir una regla de derivación

Regla de la cadena y regla del producto: cómo distinguirlas

Las reglas suelen confundirse porque ambas expresiones pueden parecer complejas. La prueba fiable es estructural: pregunta si una función recibe otra como entrada o si se multiplican dos factores que varían.

Respuesta directa

Usa la regla de la cadena para f(g(x)), la del producto para f(x)g(x) y ambas cuando un factor del producto contiene una composición.

Identifica la operación principal antes de derivar: aplicar una función a otra es composición; un producto explícito une factores separados.

Método de decisión: examina la operación principal

En sin(x^2), x^2 está dentro del seno. Es una composición: deriva el seno y multiplica por la derivada de x^2.

En x^2 sin(x), los factores x^2 y sin(x) se multiplican. Es un producto: deriva cada factor una vez mientras conservas el otro.

En x^2 sin(x^3), empieza con la regla del producto. La derivada del segundo factor necesita después la regla de la cadena, porque x^3 está dentro del seno.

Los paréntesis por sí solos no determinan la regla. Examina qué operación une las partes más grandes de la expresión.

1
Funciones anidadas: f(g(x)) -> regla de la cadena
2
Factores multiplicados: f(x)g(x) -> regla del producto
3
Producto con un factor compuesto -> usa ambas

Ejemplos resueltos

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x^2)

Una función está dentro de otra: usa la regla de la cadena.

ddx[x2 sin⁡x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin x\right]
2x sin(x)+x^2 cos(x)

Se multiplican dos factores variables: usa la regla del producto.

ddx[x2 sin⁡(x3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}\,\sin\left(x^{3}\right)\right]
2x sin(x^3)+3x^4 cos(x^3)

La operación principal es un producto; el factor seno también necesita la regla de la cadena.

Errores comunes

  • • Usar la regla del producto en sin(x^2) porque se ven dos expresiones.
  • • Usar solo la regla de la cadena en x^2 sin(x) e ignorar el producto.
  • • Aplicar correctamente la regla del producto pero olvidar la derivada interior de sin(x^3).
  • • Expandir la expresión antes de identificar su estructura principal.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de la regla de la cadena:sin⁡(x2)\sin\left(x^{2}\right)Calculadora de la regla de la cadena:x2 sin⁡(x3)x^{2}\,\sin\left(x^{3}\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de la regla de la cadena

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Un problema puede necesitar ambas reglas?+

Sí. Aplica la regla del producto en el nivel principal y después la regla de la cadena dentro de cada factor compuesto.

¿Los paréntesis siempre indican la regla de la cadena?+

No. Pueden agrupar una suma o un producto. La regla de la cadena exige evaluar una función en otra función.

¿Qué regla aplico primero?+

Aplica la regla correspondiente a la operación principal y resuelve después las partes anidadas con sus propias reglas.

Conclusión

Elige por la estructura, no por la complejidad visual. Las funciones anidadas necesitan la regla de la cadena; los factores multiplicados, la del producto. Algunas expresiones necesitan ambas en ese orden.

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