Construye un polinomio de Taylor de grado 0–5 para polinomios y composiciones de sin, cos y exp. El centro 0 da Maclaurin; no se demuestra convergencia ni una cota del error.
Esta herramienta construye un polinomio finito de Taylor mediante derivadas sucesivas. Para calcular una derivada cada vez, abre la calculadora general de derivadas. Calculadora general de derivadas
En un centro finito a, evalúa las derivadas sucesivas y divide cada valor entre su factorial. Multiplica el coeficiente obtenido por (x−a)^k y suma los términos hasta el grado elegido.
El centro es el punto a alrededor del cual se construye el polinomio. Con a=0 se obtiene un polinomio de Maclaurin.
La variable independiente permanece en el polinomio. Un centro de 1 implica potencias de (x−1), no solo potencias de x.
El grado 0 conserva solo f(a). El grado 3 incluye los términos constante, lineal, cuadrático y cúbico; el grado 5 incluye hasta seis términos.
Un grado mayor aporta más información local, pero no garantiza por sí solo un error menor en cualquier punto.
El coeficiente de (x−a)^k es f^(k)(a)/k!. La herramienta muestra las evaluaciones de las derivadas sucesivas utilizadas para construir el polinomio.
Para exp(x) en cero, todas las derivadas valen 1, lo que da los coeficientes 1, 1, 1/2 y 1/6 hasta el grado 3.
El resultado es un polinomio finito pensado para aproximar la función cerca del centro elegido.
No es una serie infinita. Esta herramienta no demuestra convergencia, un radio de convergencia ni una cota del resto.
Maclaurin es la construcción de Taylor con centro cero. Si el centro es distinto de cero, conserva los factores desplazados (x−a) al interpretar el resultado.
Para sin(x) en cero hasta el grado 5, los coeficientes de las potencias pares se anulan. El polinomio es x−x^3/6+x^5/120; no se afirma que los términos omitidos sean cero.
Compara el polinomio con la función original cerca del centro. Para garantizar un error de aproximación, hace falta estimar el resto y analizar el dominio por separado.
Estos ejemplos didácticos incluyen todas las condiciones. Ábrelos para rellenar los campos; el cálculo solo empieza cuando pulses el botón de calcular.
Para exp(x), el centro 0 y el grado 3 dan 1+x+x^2/2+x^3/6.
Probar este ejercicioPara sin(x), el centro 0 y el grado 5 dan x−x^3/6+x^5/120.
Probar este ejercicioPara cos(x), el centro 0 y el grado 4 dan 1−x^2/2+x^4/24.
Probar este ejercicioLa implementación actual admite grados 0–5 para polinomios y composiciones admitidas de sin, cos y exp en centros finitos.
Los coeficientes se obtienen con el árbol de reglas existente y evaluación en coma flotante. Esta construcción no se presenta como una comprobación independiente, una prueba de convergencia ni una cota global del error. Otras funciones requieren compatibilidad adicional con su suavidad y dominio.
Maclaurin es Taylor centrado en 0. El polinomio general de Taylor puede estar centrado en otro punto finito a.
No. El intervalo actual de grados es 0–5. Elegir un grado no admitido no debe interpretarse como un resultado calculado.
No. Es un polinomio finito, no un análisis de convergencia de una serie infinita.
No en todos los puntos. El error depende de la función, del centro y de la distancia al centro; garantizarlo requiere un análisis del resto por separado.
