Métodos de derivación

Cómo usar la regla de la cadena: pasos y ejemplos

Una función compuesta cambia por capas. La capa exterior responde al cambio de su entrada, mientras que la interior determina a qué velocidad cambia esa entrada. La regla de la cadena multiplica ambas tasas de cambio.

Respuesta directa

Si y=f(g(x)), entonces y′=f′(g(x))g′(x).

Usa la regla de la cadena cuando una función derivable se evalúa dentro de otra función derivable.

¿Regla de la cadena o del producto?

Observa la operación principal antes de derivar. Una función evaluada en otra es una composición; dos factores funcionales multiplicados forman un producto.

Qué comprobar primero 1

¿La expresión puede escribirse como f(g(x))?

Qué hacer

Usa la regla de la cadena: deriva la función exterior en g(x) y multiplica por g′(x).

Qué comprobar primero 2

¿Se multiplican dos factores que dependen de x?

Qué hacer

Usa primero la regla del producto y después aplica la de la cadena dentro de cualquier factor compuesto.

Qué comprobar primero 3

¿Hay tres o más capas anidadas?

Qué hacer

Deriva una capa cada vez, desde fuera hacia dentro, y multiplica la tasa de cada capa.

Método resuelto: y=(x²+1)³

Llama u=x²+1 a la función interior e y=u³ a la exterior. Esta separación evita perder la derivada interior.

Deriva la función exterior respecto de u: dy/du=3u². Deriva la interior respecto de x: du/dx=2x.

Multiplica y vuelve a sustituir u: dy/dx=(3u²)(2x)=6x(x²+1)². No es la regla del producto porque la expresión original es una composición, no un producto de dos funciones.

1
u = x² + 1, y = u³
2
dy/du = 3u², du/dx = 2x
3
dydx=6 x (x2+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}

Ejemplos resueltos

ddx[sin⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]
2x cos(x²)

El coseno es la derivada exterior; 2x es la interior.

ddx[e3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{3\,x + 1}\right]
3 e3 x+13\,e^{3\,x + 1}

La exponencial permanece y la derivada interior aporta 3.

ddx[(ln⁡x)2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(\ln x\right)^{2}\right]
2 ln⁡xx\frac{2\,\ln x}{x}

Deriva el cuadrado y después el logaritmo, con x>0 en cálculo real.

Errores comunes

  • • Derivar solo la función exterior y olvidar multiplicar por la derivada interior.
  • • Usar la regla del producto solo porque se ven dos capas; componer y multiplicar son estructuras distintas.
  • • Cambiar la expresión interior después de derivar en lugar de conservarla dentro de la derivada exterior.

Análisis de errores: conserva la expresión interior

Intento incorrecto

[sin(x²)]′ = cos(x²)

Por qué falla

Solo se derivó el seno exterior; falta la tasa de cambio de x².

Corrección

[sin(x²)]′ = 2x cos(x²)

Intento incorrecto

[(x²+1)³]′ = 3(x²+1)²

Por qué falla

La regla de la potencia exterior es correcta, pero se omitió la derivada interior 2x.

Corrección

[(x²+1)³]′ = 6x(x²+1)²

Practica una capa cada vez

Identifica las funciones exterior e interior antes de mostrar la respuesta. El segundo problema requiere tres tasas de cambio, no dos.

ddx[ln⁡(x2+4)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(x^{2} + 4\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Deriva ln(u) y después u=x²+4.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2 xx2+4\frac{2\,x}{x^{2} + 4}
ddx[sin⁡((x2+1)3)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Mantén visibles las tres capas: seno, cubo y cuadrática.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

6 x (x2+1)2 cos⁡((x2+1)3)6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\cos\left(\left(x^{2} + 1\right)^{3}\right)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Calculadora de la regla de la cadena:(x2+1)3\left(x^{2} + 1\right)^{3}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de la regla de la cadena

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Cómo reconozco una función compuesta?+

Prueba a llamar u a una expresión interior. Si el resto se convierte en una función exterior conocida de u, la expresión es compuesta.

¿Un problema puede necesitar las reglas del producto y de la cadena?+

Sí. Aplica primero la regla del producto que corresponde a la operación principal y después la de la cadena dentro de los factores compuestos.

¿Por qué debe conservarse la expresión interior?+

La derivada exterior se evalúa en la entrada interior original. El multiplicador separado registra la velocidad a la que cambia esa entrada.

Conclusión

Lee una derivada compuesta por capas. Conserva cada entrada interior, multiplica por todas las tasas interiores y distingue la regla de la cadena de la del producto mediante la operación principal.

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