Funciones trigonométricas recíprocas

Derivada de sec(x): fórmula, demostración y ejemplos

La secante es el recíproco del coseno, no una función trigonométrica inversa. Reescribirla como 1/cos(x) permite ver tanto el signo como el producto sec(x)tan(x).

Respuesta directa

ddx[sec⁡x]=sec⁡x tan⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec x\right] = \sec x\,\tan x

Se requiere cos(x) ≠ 0; los ángulos se miden en radianes.

¿Cuándo necesita la derivada de la secante la regla de la cadena?

Lee la expresión desde fuera hacia dentro. La regla de la secante da sec(u)tan(u); necesitas la regla de la cadena cuando su entrada u también cambia con x.

Qué comprobar primero 1

¿La expresión es exactamente sec(x)?

Qué hacer

Usa sec(x)tan(x) y conserva la restricción cos(x)≠0.

Qué comprobar primero 2

¿sec se aplica a una expresión interior u=g(x)?

Qué hacer

Conserva sec(g(x))tan(g(x)) y multiplica por g′(x).

Qué comprobar primero 3

¿sec(g(x)) está multiplicada por otra función?

Qué hacer

Aplica la regla del producto en el nivel principal y la de la cadena dentro del factor secante.

Demostración a partir de sec(x) = 1/cos(x)

Escribe sec(x)=[cos(x)]⁻¹ y deriva con las reglas de la potencia y de la cadena.

Los dos signos negativos se cancelan: −[cos(x)]⁻² · [−sin(x)] = sin(x)/cos²(x).

Separa el cociente como [1/cos(x)]·[sin(x)/cos(x)] para obtener sec(x)tan(x).

1
[cos(x)⁻¹]' = sin(x)/cos²(x)
2
= [1/cos(x)] [sin(x)/cos(x)]
3
= sec(x)tan(x)

Ejemplos resueltos

ddx[sec⁡(2 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(2\,x\right)\right]
2 sec⁡(2 x) tan⁡(2 x)2\,\sec\left(2\,x\right)\,\tan\left(2\,x\right)

Multiplica por la derivada interior 2.

ddx[sec⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(x^{2}\right)\right]
2x sec(x²)tan(x²)

Aplica la regla de la cadena a x².

ddx[sec⁡3x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec^{3} x\right]
3 sec3 x tan⁡x3\,\mathrm{sec}^{3}\,x\,\tan x

Combina la regla de la potencia con sec′(x).

Errores comunes

  • • Confundir sec(x)=1/cos(x) con arccos(x), la inversa del coseno.
  • • Perder uno de los dos signos negativos al derivar el recíproco del coseno.
  • • Ignorar los puntos donde cos(x)=0.

Análisis de errores: encuentra el factor que falta

Intento incorrecto

[sec(2x)]′ = sec(2x)tan(2x)

Por qué falla

Está presente la regla de la secante, pero falta la derivada interior de 2x.

Corrección

[sec(2x)]′ = 2sec(2x)tan(2x)

Intento incorrecto

[sec(x²)]′ = 2x sec(x)tan(x)

Por qué falla

La expresión interior se cambió después de derivar. Ambos factores exteriores deben conservar x² como entrada.

Corrección

[sec(x²)]′ = 2x sec(x²)tan(x²)

Practica la misma idea con otra función interior

Escribe primero la entrada de la secante sin cambiarla y después multiplica por su derivada. Muestra la respuesta solo tras identificar ambas partes.

ddx[sec⁡(3 x−1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(3\,x - 1\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Identifica la derivada interior constante.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

3 sec⁡(3 x−1) tan⁡(3 x−1)3\,\sec\left(3\,x - 1\right)\,\tan\left(3\,x - 1\right)
ddx[sec⁡(x2+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(x^{2} + 1\right)\right]

Comprueba antes de resolver

Conserva x²+1 en ambos factores exteriores.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

2x sec(x²+1)tan(x²+1)

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Introduce sec(2x) directamente. La calculadora la reconoce como 1/cos(2x), conserva visible la restricción del coseno y aplica la regla de la cadena.

Derivadas:sec⁡(2 x)\sec\left(2\,x\right)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿sec⁻¹(x) es lo mismo que 1/sec(x)?+

La notación es ambigua. Como función inversa, sec⁻¹ puede significar arcsec, mientras que el recíproco de sec(x) es cos(x). Escribe explícitamente la función deseada.

¿Por qué la derivada no está definida cuando cos(x)=0?+

Sec(x)=1/cos(x) ya no está definida allí, por lo que su derivada tampoco puede estarlo en esos puntos.

¿Puedo introducir sec(x) directamente en la calculadora?+

Sí. La entrada se reconoce como la expresión equivalente del recíproco del coseno antes de aplicar las reglas deterministas de derivación.

Conclusión

Deriva la secante desde fuera hacia dentro: conserva la entrada completa dentro de sec y tan, multiplica por la derivada interior y mantén la restricción original del coseno.

Comparar planes