三角函數的倒數

sec(x) 的導數：公式、證明與例題

正割是餘弦的倒數，不是反三角函數。改寫成 1/cos(x)，就能清楚看出正負號與 sec(x)tan(x) 的來源。

先看結論

ddx[sec⁡x]=sec⁡x tan⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec x\right] = \sec x\,\tan x

要求 cos(x) ≠ 0；角度以弧度表示。

正割微分什麼時候需要連鎖律？

由外向內閱讀表示式。正割公式給出 sec(u)tan(u)；只有輸入 u 也隨 x 改變時，才需要連鎖律。

先確認 1

表示式恰好是 sec(x) 嗎？

接下來怎麼做

使用 sec(x)tan(x)，並保留 cos(x)≠0 的限制。

先確認 2

sec 的輸入是內層表示式 u=g(x) 嗎？

接下來怎麼做

保留 sec(g(x))tan(g(x))，再乘以 g′(x)。

先確認 3

sec(g(x)) 還乘上另一個函數嗎？

接下來怎麼做

最外層使用乘積法則，正割因子內部使用連鎖律。

從 sec(x) = 1/cos(x) 推導

將 sec(x) 寫成 [cos(x)]⁻¹，並使用冪法則與連鎖律微分。

兩個負號抵消：−[cos(x)]⁻² · [−sin(x)] = sin(x)/cos²(x)。

將商拆成 [1/cos(x)]·[sin(x)/cos(x)]，得到 sec(x)tan(x)。

1
[cos(x)⁻¹]' = sin(x)/cos²(x)
2
= [1/cos(x)] [sin(x)/cos(x)]
3
= sec(x)tan(x)

解題範例

ddx[sec⁡(2 x)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(2\,x\right)\right]
2 sec⁡(2 x) tan⁡(2 x)2\,\sec\left(2\,x\right)\,\tan\left(2\,x\right)

乘上內層導數 2。

ddx[sec⁡(x2)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(x^{2}\right)\right]
2x sec(x²)tan(x²)

對 x² 使用連鎖律。

ddx[sec⁡3x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec^{3} x\right]
3 sec3 x tan⁡x3\,\mathrm{sec}^{3}\,x\,\tan x

將冪法則與 sec′(x) 結合。

常見錯誤

  • • 混淆 sec(x)=1/cos(x) 與餘弦的反函數 arccos(x)。
  • • 推導餘弦倒數的導數時，漏掉兩個負號中的一個。
  • • 忽略 cos(x)=0 的點。

錯誤診斷：找出缺少的因子

錯誤嘗試

[sec(2x)]′ = sec(2x)tan(2x)

錯在哪裡

已使用正割公式，但漏掉 2x 的內層導數。

正確處理

[sec(2x)]′ = 2sec(2x)tan(2x)

錯誤嘗試

[sec(x²)]′ = 2x sec(x)tan(x)

錯在哪裡

微分後改變了內層表示式。兩個外層因子都必須保留 x² 作為輸入。

正確處理

[sec(x²)]′ = 2x sec(x²)tan(x²)

換個內層函數，練習相同概念

先寫下保留的正割輸入，再乘以該輸入的導數。辨認出這兩部分後，再揭示參考答案。

ddx[sec⁡(3 x−1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(3\,x - 1\right)\right]

作答前檢查

辨認常數的內層導數。

查看參考答案

參考答案

3 sec⁡(3 x−1) tan⁡(3 x−1)3\,\sec\left(3\,x - 1\right)\,\tan\left(3\,x - 1\right)
ddx[sec⁡(x2+1)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sec\left(x^{2} + 1\right)\right]

作答前檢查

兩個外層因子都要保留 x²+1。

查看參考答案

參考答案

2x sec(x²+1)tan(x²+1)

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

直接輸入 sec(2x)。計算機會辨識為 1/cos(2x)，保留餘弦的限制，並使用連鎖律。

微分:sec⁡(2 x)\sec\left(2\,x\right)
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

sec⁻¹(x) 和 1/sec(x) 一樣嗎？+

這個記號可能有歧義。反函數記號中的 sec⁻¹ 可表示 arcsec；sec(x) 的倒數則為 cos(x)。請明確寫出想使用的函數。

cos(x)=0 時，為什麼導數沒有定義？+

Sec(x)=1/cos(x) 在那些點本來就沒有定義，因此導數也無法在該處定義。

可以直接在計算機輸入 sec(x) 嗎？+

可以。使用確定性微分規則前，輸入會先辨識為等價的餘弦倒數表示式。

重點整理

對正割由外向內微分：在 sec 與 tan 中保留完整輸入，乘上內層導數，並保留原本的餘弦限制。

比較使用方案