先選擇面積或體積
面積模式中，輸入兩條曲線 f(x)、g(x)。幾何面積取非負間距，曲線相交時分段。
體積模式中，第一條表示式是外半徑 R(x)，第二條是內半徑 r(x)，旋轉軸固定為 x 軸。
面積與旋轉體體積計算機
計算最高二次多項式曲線間的面積，並在交點處分段。繞 x 軸的體積要求有限區間內外半徑 ≥ 內半徑 ≥ 0。
計算引擎規則引擎
本頁計算幾何面積或繞 x 軸的墊片法體積。有符號積分或其他被積函數請使用定積分計算機。 定積分計算機
如何用積分計算面積和體積？
先選擇曲線間面積或繞 x 軸的體積，輸入兩條曲線和有限區間。所選任務決定積分的是非負高度差，還是半徑平方之差。
填寫區間和第二條曲線
下限必須小於上限。另一邊界為 x 軸，或旋轉體沒有孔洞時，第二條曲線填 0。
兩條曲線都需要是所選變數的二次或更低次多項式。下方例題入口會帶入完整條件。
為什麼交點需要分段？
幾何面積積分的是 |f(x)−g(x)|，不能先算有符號積分、抵消後再取絕對值。
例如 y=x 與 y=0 在 [−1,1] 上形成兩個三角形，面積相加為 1，而 x 的有符號積分為零。
體積為什麼要平方？
墊片的橫截面積為 π(R(x)^2−r(x)^2)，積分後得到立方單位的體積。
整個區間都需滿足 R(x)≥r(x)≥0。本頁只處理繞 x 軸的旋轉。
分清有符號積分、面積和體積
y=x 在 [0,1] 上與 x 軸圍成的面積是 1/2 平方單位；繞 x 軸旋轉後的體積是 π/3 立方單位。
對 y=x 與 y=x^2，在 [0,1] 上上方曲線是 x，下方是 x^2，積分 x−x^2 得到面積 1/6。若其他區間記憶體在交點，需要按上下關係分段。
使用結果前的學習提示
體積計算前建議畫出曲線並標明旋轉軸。半徑是距離，負函數值不能直接作為有效半徑。
支援範圍與適用條件
兩條曲線僅支援有限區間上的二次或更低次多項式。面積計算會在支援的交點處分段。
體積使用繞 x 軸的墊片法，要求半徑非負且外半徑不小於內半徑。其他旋轉軸、殼層法、瑕點數與任意函數不在目前範圍內；數值評價不代表全域性誤差界證明。
常見問題
幾何面積可以是負數嗎？
不可以。各段面積相加，不做有符號抵消。有符號積分是另一種量。
曲線相交怎麼辦？
對支援的多項式曲線，工具會在區間內的交點處分段，再把各段面積相加。
可以繞 y 軸旋轉嗎？
不可以。本工作台只使用繞 x 軸的墊片法；其他軸或殼層法需要不同的設定。
為什麼必須填第二條表示式？
它是面積的另一條邊界，或體積的內半徑。邊界為 x 軸或旋轉體無孔洞時填 0。