微積分學習

旋轉體體積：圓盤法、圓環法與圓柱殼法

求旋轉體體積，應先決定截面，而不是直接套用熟悉的積分。圓盤只有一個半徑；圓環則從外圓盤扣掉內圓盤。旋轉軸的方向，決定適用方法及積分變數。

先看結論

繞 x 軸旋轉、半徑非負時，V=π∫ₐᵇ [R(x)²−r(x)²] dx。

圓盤法與圓環法採垂直於旋轉軸的切片；圓柱殼法採平行切片。半徑必須從指定的旋轉軸量起。

旋轉體體積的完整計算方法

將 [0,1] 上 y=x 下方的區域繞 x 軸旋轉。垂直於軸的每個截面都是半徑為 x 的圓盤，因此截面積為 πx²。

積分截面積，得到 π[x³/3]₀¹=π/3 立方單位。高度 x 必須先平方，再積分。

在 [0,1] 上，外半徑為 2、內半徑為 x 時，積分 π(4−x²)，得到 11π/3。如果將 (2−x) 平方，就會變成不同的區域。

圓柱殼的體積元素是圓周長 2π 乘上半徑與高度。將 [0,1] 上 y=x 下方區域繞 y 軸旋轉，得到 2π∫₀¹ x·x dx=2π/3。

旋轉軸為 y=k 時，半徑是距離 |f(x)−k|。目前工具只處理繞 x 軸旋轉、內外半徑排序正確且非負的多項式；其他設定只有在數學上合理時才能自行轉換。

Vdisk=π∫₀¹ x² dx=π/3

Vwasher=π∫₀¹ (4−x²) dx=11π/3

Vshell=2π∫₀¹ x² dx=2π/3

[0,1] 上 y=x 下方區域繞 x 軸旋轉

\frac{\pi}{3}

圓盤半徑為 x。

[0,1] 上外半徑為 2、內半徑為 x

\frac{11\,\pi}{3}

將外、內半徑平方後相減。

[0,1] 上 y=x 下方區域繞 y 軸旋轉

\frac{2\,\pi}{3}

應用圓柱殼法，不能沿用相同的圓盤被積函數。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

預填的是圓盤截面積 πx²，不是原曲線 x。必須先確認幾何設定，再進行積分。

\pi\,x^{2}

內半徑什麼時候為零？+

當該切片的區域直接延伸到旋轉軸，中間沒有孔洞時。

圓柱殼法與圓環法的答案不同嗎？+

若設定正確且描述同一個立體，答案會相同；旋轉軸不同則可能形成不同立體。

目前工具可以繞任意軸旋轉嗎？+

不可以。目前體積模式只支援繞 x 軸的圓盤與圓環，且半徑必須是非負的二次以下多項式。

計算旋轉體體積前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。