微積分學習

曲線之間的面積：交點、上方減下方與分段積分

曲線之間的面積，不一定等於兩函數差的有號積分。先找出區間內的交點，再確認每一段哪條曲線在上方。最後將各段面積相加，不能讓不同側的區域互相抵消。

先看結論

A=∫ₐᵇ |f(x)−g(x)| dx。上下兩條曲線互換位置時，必須在該處分段。

兩條曲線必須在指定的有限區間上可積分。幾何面積非負，單位為平方單位。

計算曲線之間面積的完整方法

對 [0,1] 上的 y=x 與 y=x²，解 x=x² 可得交點 0 與 1。在這兩點之間，x≥x²。

將 x−x² 積分，得到 [x²/2−x³/3]₀¹=1/6。結果以平方單位表示，不是斜率的單位。

對 [−1,1] 上的 y=x 與 y=0，兩曲線在 0 相交。[−1,0] 上積分 −x，[0,1] 上積分 x，兩段各得到 1/2。

有號積分 ∫₋₁¹ x dx 為零，幾何面積卻是 1。事後再取 |0|，也無法恢復已被抵消的兩部分。

若改用 y 表示邊界比較容易，可採水平切片，對「右側減左側」做 dy 積分。不要混用 x 與 y 的上下限。

A=∫₀¹ (x−x²) dx=1/6

A=∫₋₁⁰ (−x) dx+∫₀¹ x dx=1

有號積分 ≠ 總幾何面積

x 與 x² 之間，0≤x≤1

\frac{1}{6}

先找交點，再決定哪條曲線在上方。

x 與 0 之間，−1≤x≤1

1

在交點分段。

2 與 x² 之間，0≤x≤1

\frac{5}{3}

常數函數的圖形始終在拋物線上方。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

一般定積分的預填例題在此適用，因為 x−x² 在 [0,1] 上非負。積分應用工具會自動處理支援範圍內的交點。

x - x^{2}

面積可以是負數嗎？+

不可以。負的積分值反映方向或有號量，不是幾何面積。

一定要分段嗎？+

只有上下位置改變時才需要。有些交點只是相切，不一定改變差式的正負號。

積分應用工具支援哪些輸入？+

支援有限區間上的二次以下多項式。工具會找出實數交點，而不是抽取少量樣本猜測正負號。

計算曲線之間的面積前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。