定積分
為什麼定積分不一定等於總面積
「曲線下的面積」這句話可能隱藏重要的符號約定。定積分把水平軸下方的區域算成負值，因此大小相等的正負區域會互相抵消，即使幾何面積並不為零。
先看結論
定積分給出淨有號面積；總面積則將座標軸上、下方各區域的面積大小相加。
被積函數在區間內變號時，計算總面積前須在每個相關零點分段。
完整比較：f(x)=x 在 [−1,1] 上
函數 x 在 [−1,0] 上為負，在 [0,1] 上為正。兩個三角形大小相等、符號相反，因此 x 從 −1 到 1 的積分為零。
總幾何面積不能抵消。在 x=0 分段，將負值部分反號，或直接積分 |x|。每個三角形面積為 1/2，因此總面積為 1。
應用題也有相同差別。速度積分給出位移，方向反轉時可能抵消。速率，也就是速度的絕對值，積分後給出總路程。
把定積分值當成面積前，先找出區間內的零點與不連續點。符號表可判斷哪些地方需要絕對值或分段。
1
∫₋₁¹ x dx = 0（淨有號面積）
2
∫₋₁⁰ (−x) dx + ∫₀¹ x dx = 1
3
∫₋₁¹ |x| dx = 1（總面積）
解題範例
∫₋₁¹ x dx
負、正有號區域互相抵消。
[−1,1] 上 y=x 與座標軸之間的總面積
在零點分段或積分 |x|，就不會扣掉任何一塊區域。
淨面積 0；總面積 1
x=1 的變號點將區域分成兩個相等的三角形。
常見錯誤
- • 未檢查正負抵消，就把定積分為零說成幾何面積為零。
- • 只對最後積分值取絕對值，而不在函數變號處分段。
- • 因端點值看似正常，就忽略內部不連續點。
- • 速度題中混淆位移與總路程。
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 定積分計算機參考資料
常見問題
定積分可以是負數嗎？+
可以。軸下方的負貢獻大於上方的正貢獻時，結果為負。
總面積一定是絕對值的積分嗎？+
對指定區間上的可積分函數，圖形與座標軸之間的總面積可由其絕對值的積分求得，通常先在變號處分段。
為什麼要先找零點？+
零點指出可能變號的位置，幫助判斷將幾何面積相加前，區間是否需要分段。
重點整理
除非題目明確要求幾何面積，否則先將定積分視為有號量。需要總面積時，找出變號點、分段區間，再加上各段大小，不讓正負抵消。
比較使用方案