隱函數微分計算機

先確認輸入的是方程，而不是單獨的表示式。x²+y²=25 這樣的隱式關係同時描述許多有序數對。雖然 y 沒有寫成 y(x)，它仍會隨 x 沿曲線變化，因此含 y 的項微分時會出現 dy/dx。25 或固定引數 r 的 r² 等常數微分為零。 對等號兩邊的每一項同時關於 x 微分。只含 x 的項使用普通規則；只含 y 的項使用連鎖律，例如 d/dx(y²)=2y·dy/dx，d/dx(sin y)=cos(y)·dy/dx。xy 這樣的混合項需要乘積微分法則，導數是 y+x·dy/dx。在每個受影響的 y 項旁明確寫出 dy/dx，可以避免把 y 錯當常數。 微分後，把所有含 dy/dx 的項移到一側，其餘項移到另一側，再提取 dy/dx 並相除。對於 x²+xy+y²=1，微分得 2x+y+x·dy/dx+2y·dy/dx=0，整理為 (x+2y)dy/dx=−(2x+y)，所以 dy/dx=−(2x+y)/(x+2y)。把方程寫成 F(x,y)=0 後，也可用緊湊公式 dy/dx=−Fₓ/Fᵧ 得到同樣結果。 偏導數公式只是更簡潔的計算路徑，並沒有省略背後的連鎖律。Fₓ 表示固定 y 時關係隨 x 的變化，Fᵧ 表示 y 方向的變化；沿曲線兩者必須平衡，因此 Fₓ+Fᵧ·dy/dx=0。CalculusMate 會展示原關係、兩個偏導數及其負比值，使推理過程保持可檢查。 符號導數不等於某一點的數值斜率。求點處斜率時，先確認該點滿足原方程，再把兩個座標代入 dy/dx。例如在圓 x²+y²=25 的點 (3,4) 處，斜率為 −3/4。不在圓上的點對這條曲線沒有意義。若分母為零，應檢查豎直切線或奇點，而不是給出普通有限斜率。 有些關係包含多個分支。把圓顯式解出會得到上下兩個分支，而隱函數微分能用一個公式同時處理，斜率符號由座標決定。這種方法可以避免不必要的代數運算，也能處理難以解出 y 的方程。但它仍要求關係在該點附近可微，並且隔離 dy/dx 時使用的分母不為零。 清晰的書寫應依次保留原方程、等號兩側各項的導數、每個連鎖律產生的 dy/dx、合併因子以及最終化簡。頁面按這一順序展示確定性的符號斜率，不會靜默處理奇異曲線，也不會在數學條件不足時擅自選擇分支。