微分方法

如何做隱函數微分：步驟與例題

隱函數方程式連結 x 與 y，不必先解出 y。把 y 視為 x 的函數：每個含 y 的項微分後都會帶有 y′，xy 這類乘積也需要使用乘積法則。

先看結論

對兩邊微分，合併所有含 y′ 的項，再解出 y′。

若要用 y=y(x) 表示局部斜率，所研究點上的 y′ 係數必須非零。

完整例題：x²+xy+y²=1

兩邊對 x 微分。乘積法則給出 d(xy)/dx=y+xy′，連鎖律給出 d(y²)/dx=2yy′。

合併含 y′ 的項：xy′+2yy′=−2x−y。提出 y′，得到 (x+2y)y′=−(2x+y)。

只有 x+2y 非零時才能相除，得到 y′=−(2x+y)/(x+2y)。分母為零表示此處無法使用這個將 y 表示成 x 函數的局部公式，不代表原方程式一定無解。

1
2x + y + xy′ + 2yy′ = 0
2
(x + 2y)y′ = −(2x + y)
3
y′ = −(2x + y)/(x + 2y), x+2y ≠ 0

解題範例

x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25
y′ = −x/y

局部的 y(x) 表示式要求 y≠0。

xy = 6
y′ = −y/x

使用乘積法則：y+xy′=0，且 x≠0。

y2=x3+1y^{2} = x^{3} + 1
y′ = 3x²/(2y)

y² 微分會產生 2yy′；局部公式要求 y≠0。

常見錯誤

  • • 方程式使 y 依賴 x，卻仍把 y 當成常數。
  • • 將 d(xy)/dx 寫成 xy′，漏掉乘積法則中的 y 項。
  • • 把 y′ 係數為零的點都稱為「無解」；問題在所選的局部表示法，不一定在曲線本身。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

隱函數微分計算機:x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25隱函數微分計算機:x2+x y+y2=1x^{2} + x\,y + y^{2} = 1
開啟未填入範例的計算機: 隱函數微分計算機

參考資料